c++多项式曲线拟合求极大值点_超弹材料模型及其曲线拟合

当有限元分析中需要使用超弹性材料模型时&＃xff0c;工程师通常很少有实质性的数据来帮助他们进行超弹有关的非线性分析。有时幸运的工程师会有一些拉伸或压缩应力-应变实验数据&＃xff0c;或者还会有一个简单的剪应力-应变实验数据。正确地处理这些数据是分析非线性超弹模型的关键一步&＃xff0c;而对这些数据进行曲线拟合而得出对应超弹模型的材料参数就显得尤为重要。今天我们就来了解一下超弹模型相关的实验数据及其曲线拟合&＃xff0c;最后也会在MatEditor软件中给出曲线拟合的实例。

超弹材料的力学实验数据

应变能密度函数中的材料常数确定了超弹性模型的力学响应。为了在超弹性分析中获得正确的结果&＃xff0c;需要评估被测材料的模型常数。这些常数通常是根据实验应变-应力数据通过曲线拟合得出的。测试数据通常取较大范围内的几种变形模式。使用至少与有限元分析中所要经历的变形状态一样多的测试数据&＃xff0c;拟合出的材料常数才能准确体现材料的力学响应。

对于超弹性材料&＃xff0c;可以使用简单的变形测试来拟合材料常数。下图表现了6个不同的变形模式。来自多种变形状态下的数据组合要比单一类型的变形数据更好&＃xff0c;更可以得到准确的超弹材料参数。

尽管存在6种不同的变形状态&＃xff0c;但是我们发现在施加静水压力后&＃xff0c;以下变形模式会变得相同&＃xff1a;单轴拉伸和等双轴压缩&＃xff0c;单轴压缩和等双轴拉伸&＃xff0c;平面张力和平面压缩。通过这些等效的测试模式&＃xff0c;我们只需要这三种独立的变形模式的实验数据。

单轴拉伸

一种简单拉伸测试的应力-应变数据。必须提供这类测试数据&＃xff0c;才能模拟计算拉伸应变状态。测试数据中不存在侧向约束。单轴压缩数据可以从等双轴数据中得出。

单轴拉伸下的第一和第二应变不变量为&＃xff1a;

所对应的工程应力与主拉伸率的关系为&＃xff1a;

等双轴拉伸

等双轴拉伸测试中的应力-应变数据。通过在两个方向上均匀拉伸&＃xff0c;体现出相当于纯压缩的应变状态。单轴压缩数据可以从等双轴数据中得出。

等双轴拉伸下的第一和第二应变不变量为&＃xff1a;

所对应的工程应力与主拉伸率的关系为&＃xff1a;

纯剪切变形

对于超弹性材料&＃xff0c;这通常是指大幅拉伸的样品&＃xff0c;但由于该材料几乎不可压缩&＃xff0c;因此存在纯剪切状态。

第一和第二应变不变量为&＃xff1a;

所对应的工程应力与主拉伸率的关系为&＃xff1a;

体积变形

此数据用于确定体积模量。对于超弹材料&＃xff0c;如果材料可稍加压缩或部件整体受约束&＃xff0c;则此数据较为重要。体积模量通常比剪切模量大2-3个数值阶次。对于泡沫材料&＃xff0c;体积数据对计算材料的可压缩性十分重要。

超弹模型与曲线拟合

由于每一种超弹模型对应的材料常数数量和物理意义都不一样&＃xff0c;需要在这里给出每种超弹模型的应变能。目前&＃xff0c;MatEditor已经支持下列常见超弹模型&＃xff1a;

Arruda-Boyce模型

其中u是初始剪切模量&＃xff0c;lambda是有限网格拉伸&＃xff0c;D1是不可压缩参数。

Blatz-Ko模型

其中u是初始剪切模量。

Gent模型

其中u是初始剪切模量&＃xff0c;Jm是I1-3项的限定值&＃xff0c;D1是材料不可压缩参数。

Mooney-Rivlin 2参数模型

其中&＃xff0c;C10&＃xff0c;C01&＃xff0c;和D1是材料参数。

Mooney-Rivlin 3参数模型

其中&＃xff0c;C10&＃xff0c;C01&＃xff0c;C11&＃xff0c;和D1是材料参数。

Mooney-Rivlin 5参数模型

其中&＃xff0c;C10&＃xff0c;C01&＃xff0c;C20&＃xff0c;C11&＃xff0c;C02&＃xff0c;和D1是材料参数。

Mooney-Rivlin 9参数模型

其中&＃xff0c;C10&＃xff0c;C01&＃xff0c;C20&＃xff0c;C11&＃xff0c;C02&＃xff0c;C30&＃xff0c;C21&＃xff0c;C12&＃xff0c;C03 和D1是材料参数。

Neo-Hookean模型

其中&＃xff0c;u是初始剪切模量&＃xff0c;D1是材料不可压缩参数。

Ogden模型

其中&＃xff0c;N确定多项式阶数&＃xff0c;u和a是材料参数&＃xff0c;D是不可压缩参数。

多项式模型

其中&＃xff0c;N确定多项式阶数&＃xff0c;c_ij和D是材料参数。

Yeoh模型

其中&＃xff0c;N确定多项式阶数&＃xff0c;c_i0和D是材料参数。

根据具体条件&＃xff0c;使用者可以通过结合测量得到的单轴拉伸、压缩、双轴拉伸和体积测试数据来更好地估算材料参数。这些测试数据随后可以对每个超弹模型进行曲线拟合。

给定测试数据和具体超弹模型后&＃xff0c;材料常数可以通过最小二乘法计算残差得到最优的参数结果&＃xff0c;常用Levenberg-Marquardt 求解器来实现最小化算法。拟合曲线是目前找出超弹性材料模型中材料参数最主要的方法之一&＃xff1b;但还应考虑给定超弹性材料模型的稳定性。通常采用Drucker稳定性准则来确定材料的稳定性。根据Drucker准则&＃xff0c;与增量应力相关的应变能应大于零。如果违反了该准则&＃xff0c;材料模型将会不稳定。在实际数值计算中&＃xff0c;常用的方法是检查材料刚度矩阵的正定性&＃xff0c;以此来确定给出的材料常数是否稳定。

使用MatEditor进行超弹材料曲线拟合

工程材料编辑软件MatEditor已经支持了多种超弹模型材料及其参数拟合。通过输入应力-应变试验数据&＃xff0c;就可以得到用于有限元分析的超弹材料常数。MatEditor不仅能够使用试验数据拟合出所选本构函数(应变能函数)的参数&＃xff0c;而且还能将本构函数曲线与试验数据(名义应力-应变曲线)绘制在同一图表中&＃xff0c;便于对比拟合效果。这样&＃xff0c;使用者可以利用实验应力应变数据直接让程序自己拟合出超弹材料模型的参数。

目前MatEditor和WelSim已经支持的超弹曲线拟合模型有&＃xff1a;Arruda-Boyce, Mooney-Rivlin, Neo-Hookean&＃xff0c;Ogden&＃xff0c; Polynomial&＃xff0c;和Yeoh模型。本例使用经典的Mooney-Rivlin 9 作为示例&＃xff0c;曲线拟合基本步骤如下&＃xff1a;

1. 选择超弹性材料

从超弹列表中选择Mooney-Rivlin 9材料属性&＃xff0c;添加至材料属性编辑窗口。此时的参数为空白需要使用者输入或者参数拟合。

2. 从测试数据列表中选择添加单轴、双轴、和剪切三种试验数据&＃xff0c;并在表格中输入测试数值&＃xff0c;如下图所示单轴拉伸试验数据。MatEditor也支持多个温度下的测试数据。测试数据需要覆盖后续仿真的应变范围。如果数据较多&＃xff0c;使用者可以通过文件导入的方式输入应力-应变数据。

3. 确认测试数据输入正确后。右键点击Mooney-Rivlin 9属性&＃xff0c;添加曲线拟合属性。

4. 右键点击刚添加的曲线拟合属性&＃xff0c;计算&＃xff0c;并拷贝计算值至材料属性中。

5. 如果计算并赋值成功&＃xff0c;可以查看拟合后的材料参数和曲线状况。

6. 对比曲线和测试数据的差异。并决定是否采用这些参数进行后续的分析工作。本例中&＃xff0c;已经计算出了Mooney-Rivlin的9个参数。而体积数据用来计算最后一个数据d(不可压缩性因子&＃xff0c;与泊松比有关)&＃xff0c;可以通过体积实验曲线拟合得到。如果没有体积试验曲线&＃xff0c;则d&＃61;0&＃xff0c;这种情况下可能需要手工修改d值&＃xff0c;如果知道泊松比u&＃xff0c;则可用如下公式计算&＃xff1a;d&＃61;(1-2u)/(c1&＃43;c2)。注意此式是建立在几乎不可压缩(u接近于或等于0.5)的前提下的。

现给出同一组数据下&＃xff0c;不同模型曲线拟合的结果。可以直观地理解不同超弹模型曲线拟合的特点。

超弹模型曲线拟合中的注意事项

1. 若要得到精确的材料常数&＃xff0c;曲线拟合中输入的应力-应变数据必须涵盖分析中将遇到的完整载荷范围。例如&＃xff0c;如果部件除了拉伸和压缩以外&＃xff0c;还会遇到剪切应力&＃xff0c;则必须输入纯剪切应力-应变数据。简单拉伸本身不足以对这些情况下的材料行为进行建模。如果只拟合单轴数据&＃xff0c;并使用计算的参数用于实际双轴变形分析&＃xff0c;可能会得到错误的有限元分析结果。在材料参数估计中&＃xff0c;最好能结合不同的大变形模式执行曲线拟合&＃xff0c;而非只使用一种变形模式。

2. 在大多数情况下&＃xff0c;曲线拟合例程无法达到完美的精度。曲线拟合的结果很大程度上取决于所需范围内给定的测试数据。

3. 大多数的超弹模型是基于完全不可压缩理论的(除了Blatz-Ko和Ogden Foam等)&＃xff0c;所以对于这些模型而言&＃xff0c;输入参数时&＃xff0c;要注意其破松比应该接近0.5&＃xff0c;一般大于0.49。这样才能在有限元计算中得到合理的结果。

本文中&＃xff0c;我们讨论了各种用于橡胶材料的常用非线性超弹模型及其曲线拟合。为了将材料参数拟合到材料模型中&＃xff0c;我们需要正确的测量数据。我们还分析了一些典型的实验测试、材料模型选择。通过在MatEditor软件示例&＃xff0c;演示了如何在非线性超弹模型中直接使用测量数据&＃xff0c;并拟合到不同超弹性材料模型的参数。

最后&＃xff0c;给出相关软件操作视频&＃xff0c;供大家参考。

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