指数随机变量与泊松过程的应用：概率模型导论（第10版）

### 概率论基础
#### 1. 引言
本章旨在介绍概率论的基本概念和工具。

#### 2. 样本空间与事件
定义样本空间和事件的概念，并解释如何在这些基础上构建概率模型。

#### 3. 概率定义
探讨如何在不同场景下定义事件的概率，包括古典概型、频率学派和主观概率等视角。

#### 4. 条件概率
讨论条件概率的概念及其重要性，特别是它在贝叶斯推理中的作用。

#### 5. 独立性
研究独立事件的意义及其实用价值，尤其是在复杂系统的简化分析中。

#### 6. 贝叶斯公式
详细介绍贝叶斯公式的原理及其在实际问题求解中的应用。

### 随机变量及其性质
#### 7. 随机变量概述
介绍随机变量的一般概念，区分离散型与连续型随机变量。

#### 8. 离散随机变量
- **伯努利随机变量**：描述二元结果的概率分布。
- **二项随机变量**：用于多次独立试验的成功次数建模。
- **几何随机变量**：刻画首次成功的等待时间。
- **泊松随机变量**：适用于稀有事件的发生次数建模。

#### 9. 连续随机变量
- **均匀随机变量**：具有恒定概率密度的随机变量。
- **指数随机变量**：常用于表示无记忆性的等待时间。
- **伽玛随机变量**：可用于建模多个独立指数过程的总时间。
- **正态随机变量**：自然界中最常见的分布之一。

#### 10. 期望值计算
分别针对离散型和连续型随机变量讲解其期望值的计算方法，并延伸到随机变量函数的期望。

#### 11. 联合分布
涉及多个随机变量之间的相互关系，包括联合分布函数、独立性和协方差等。

#### 12. 矩母函数
通过矩母函数来表达随机变量的所有矩，提供了一种简洁而强大的工具。

#### 13. 发生事件数的分布
探讨一系列事件发生的次数分布规律。

#### 14. 极限定理
总结大样本情况下的渐近行为，例如中心极限定理。

#### 15. 随机过程
引入随机过程的概念，作为随时间演变的随机现象的研究对象。

### 条件概率与期望
#### 16. 条件概率与期望
进一步深化条件概率的理解，并应用于更复杂的期望值计算。

### 马尔可夫链
#### 17. 马尔可夫链简介
阐述马尔可夫链的基本特征及其数学描述。

#### 18. Chapman-Kolmogorov方程
解析C-K方程的作用及其推导过程。

#### 19. 状态分类
根据状态转移特性对状态进行分类。

#### 20. 极限概率
研究长时间内系统处于某一特定状态的概率趋势。

#### 21. 应用实例
展示马尔可夫链在赌博破产、算法性能评估等方面的应用。

### 泊松过程
#### 22. 指数分布
详细解释指数分布的定义及其独特性质。

#### 23. 泊松过程
定义泊松过程并讨论其基本性质。

#### 24. 推广形式
介绍非时齐泊松过程、复合泊松过程及条件泊松过程等变体。

### 连续时间马尔可夫链
#### 25. 连续时间马尔可夫链
将离散时间的马尔可夫链推广至连续时间域。

#### 26. 生灭过程
一种特殊的连续时间马尔可夫链，广泛应用于人口动态等领域。

### 更新理论
#### 27. 更新过程
探讨更新过程及其统计特性，包括N(t)的分布和极限定理。

### 排队理论
#### 28. 排队系统
分析排队系统的结构与性能指标。

#### 29. 特殊模型
如单服务线、多服务线、有限容量系统等。

### 可靠性理论
#### 30. 系统可靠性
评估由多个组件构成的复杂系统的整体可靠性。

### 布朗运动与平稳过程
#### 31. 布朗运动
研究布朗运动及其变形形式。

#### 32. 平稳过程
探讨平稳过程及其应用。

### 模拟技术
#### 33. 模拟方法
介绍模拟随机变量和随机过程的各种技术，包括逆变换法、拒绝采样等。

#### 34. 方差缩减
利用对偶变量、条件化、控制变量和重要抽样等手段减少模拟误差。

#### 35. 稳态生成
提出生成马尔可夫链稳态分布的有效策略。

附录包含部分习题解答，供读者参考。