证明类型–谓词逻辑|离散数学

证明类型–谓词逻辑|离散数学

原文:https://www . geesforgeks . org/type-of-proof-predict-logic-discrete-mathematics/

引言:
逻辑最基本的形式是命题逻辑。没有变量的命题是唯一被考虑的断言。因为命题中没有变量，所以要么总是真，要么总是假。
示例–

1. P : 2 + 4 = 5。(总是假的)是一个命题。


2. Q : y * 0 = 0。(永远真实)是一个命题。

大多数数学结论都表示为含意:P 和 Q:P Q
我们知道–

| **P** | **Q** | **P ⇒ Q** |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
**证明类型:**
假设我们要证明蕴涵 P q，这里有几个选项供你考虑。
**1。琐碎的证明–**
如果我们知道 Q 是真的，那么无论 P 的真值是多少，P Q 都是真的。
**示例–**
如果一个极客组织有 1000 名员工，那么 3 ² = 9。
***解释–***
让 geeksforgeeks 组织有 1000 名员工& Q : 3 ² = 9。
我们知道 Q 永远是真的，在真值表中可以看到，无论 P 的真值是多少，只要 Q 为真，P Q 为真。
**2。空洞的证明–**
如果 p 是其他假设的连词(例如:P = A ^ B ^ C)，并且我们知道这些假设中的一个或多个是假的，那么 p 是假的，因此 P → Q 是空洞的真，而不管 q 的真值如何。
**例–**
If 5！= 100，然后是 3！= 6.
**解说–**
让 P : 5！= 100，& Q : 3！= 6.
我们知道 P 总是假的，在真值表中可以看到，无论 Q 的真值是多少，只要 P 为假，P Q 就是真的。
**3。直接证明–**
假设 P，然后使用推理规则、公理、定义和逻辑等价证明 Q。
**例–**
对于所有整数 p 和 q，如果 p 和 q 都是奇数，那么 p + q 就是偶数。
让 P 表示:P 和 Q 是奇数
Q : p + q 是偶数
证明:P Q
**证明–**
由于 p & q 是奇数，所以可以表示为:
假设:p = 2m + 1，q = 2n + 1，其中 m & n 也是一些整数。
那么:p + q =
= (2m + 1) + (2n +1)(代换定律)
= am + 2n + 2(加法的结合律和交换律)
= 2(m + n + 1)(分配律)
=可被 2 整除的数&因此是偶数。
**4。矛盾证明–**
我们从假设假设正确，结论不正确开始，试图找到一个矛盾。
矛盾证明是合法的，因为:
(P ∧ Q)等价于 P Q
如果我们能证明(P ∧ Q)是假的，那么(P ∧ Q)就是真的，等价语句 P Q 也是真的。
**例–**
设 x 和 y 为实数。如果 5a + 25b = 156，则 a 或 b 不是整数。
**证明–**
让 P : 5a + 25b = 156 & Q : a 或 b 不是整数
Q : a 或 b 是整数
所以，我们假设 a 和 b 都是整数(Q)5(a+5b)= 156(分配律)
既然 a 和 b 是整数，这就意味着 156 可以被 5 整除。
然而，整数 156 无论如何不能被 5 整除。这个矛盾给出了结果。
暗示(P ∧ Q)是假的，因为 P 是假的
那么(P ∧ Q)是真的，等价的说法 P Q 也是真的。
5.**逆正证明–**
我们可以通过证明 Q 是 P 来间接证明 P 是 Q，假设 Q，然后利用推理规则、公理、定义和逻辑等价证明 P。
例:对于所有的整数 a 和 b，如果 a*b 是偶数，那么 a 是偶数或者 b 是偶数。
证明:我们证明下述说法的对位:
设 P : a*b 为偶数& Q : a 为偶数或 b 为偶数。那么:
P : a*b 是奇数
Q : a 和 b 是奇数
假设 Q 为真，即 a 和 b 都是奇数
a = 2m + 1，b = 2n+1；其中 m 和 n 是整数。
然后:
a*b= (2m + 1)(2n + 1)(通过代换)
= 4mn + 2m + 2n + 1(通过结合、交换&分配律)
= 2(2mn + m + n) + 1(通过分配律)
由于 a*b 是整数的两倍(As : 2mn + m + n 也是整数)加 1，所以 a*b 是奇数。
所以表示 Q P，所以 P Q
**Q .证明:n 可以是奇数当且仅当 n ² 是奇数。**
**解。**
为了证明这个说法，我们必须证明两个含义:
1. 如果 n 为奇数，则 n ² 为奇数
2. 如果 n ² 为奇数，则 n 为奇数
**假设–**
P:n 为奇数& Q : n2 为奇数。
1\. P ⇒ Q ：
我们用直接证据来证明。
假设 n 为奇数。
那么:n = 2p+1；对于某些整数 p.
则 n²=(2p+1)²= 4p²+4p+1 = 2(2p²+2a)+1，；也就是 2*(某个整数)+ 1。
因此，我们可以说 n ² 是奇数。于是问
2.问:这里我们使用的是反正证明方式。
Q : n ² 为偶数，P : n 为偶数。
我们需要证明:P Q(P Q 表示 Q P)
假设 n 为偶数，
则 n = 2；对于某个整数 p.
那么 N2 =(2p)²= 4p²= 2(2p²，这是一个偶数，因为它可以被 2 整除。
从(1。)P Q & from(2)Q P，n 可以是奇数当且仅当 n2 是奇数。
**2。如果一个数能被 4 整除，那么它也能被 2 整除。**
**解:**
使用直接证明:
假设:x 可被 4 整除
则:x = k * 4；其中 k 是某个整数(根据除法的定义)
So，x = k * (2 * 2)
So，x = (k * 2 )* 2(乘法的联想性质)
So，x = P * 2 其中 P = k * 2；是一个整数。
因此，我们可以说 x 也可以被 2 整除。
**3。利用矛盾证明:如果 y + y = y，那么 y = 0。**
**解:**
让 P : y +y = y & Q : y = 0
证明:(P ∧ Q)为假正如(P ∧ Q)为假，那么(P ∧ Q)为真，等价的语句 P Q 也同样为真。
P : y + y= y，Q : y~= 0。
(P ∧ Q)的意思是:那么 2y =y 并且作为 y ~= 0 我们可以用 y 除两边
结果得到:2 = 1，这是一个矛盾。
所以(P ∧ Q)为假，P Q 为真。