再谈韦伯/费希纳定律以及我对数学公式的理解

浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖！

今年年初的时候，我写过一篇关于费希纳定律的文章，当时也算是即兴写作，记得本来是看了个电影，电影到高潮的时候喝了一瓶真露看到结束，然后有点微晕，就写了那篇文章：

韦伯-费希纳定律与对数关系的深意 ：https://blog.csdn.net/dog250/article/details/79111759

酒后之作难免不严谨，太多些随意的东西，前几日有人问到这篇文章中关于费希纳定律的细节问题，我就决定就这个问题再写几笔。

其中，比较不好理解的是费希纳定律的公式是怎么来的。这就不得不从心理学的角度开始说起。

温水煮青蛙都应该知道，同样的水温，如果是逐渐加热的，青蛙可能还会不亦乐乎地游泳，但是你要是直接把青蛙扔进这个水温的锅里，青蛙一定会跳起来！

韦伯发现了一个一般性的现象，最终他假设，人们对物理刺激的感觉是离散化的，针对每一个强度的物理刺激，在该刺激强度下，若要人们有所感觉，需要额外物理刺激强度和当前物理刺激强度成正比。 韦伯定律即：

$\dfrac{\Delta I}{I}=K$IΔI​=K

其中$K$K为韦伯系数。

举个例子，我抱着10斤的重物，你再给我偷偷加1两我是没感觉的，加2两也是没有感觉的，一旦你加了1斤，我就会发现，怎么变重了。那么根据上面的韦伯定律公式，就是：

$\dfrac{1斤}{10斤}=0.1$10斤1斤​=0.1

此时，可以得出，我的韦伯系数就是$0.1$0.1，那么现在，如果我抱着100斤的重物(假设我能抱得动)，你给我添多重的物品，我能感觉得到。

很简单，套用上面的公式即可：

$\dfrac{X}{100斤}=0.1$100斤X​=0.1

可以得到，$X$X等于10斤，也就是说，你再加10斤的重量才能让我感觉到重了。

韦伯定律揭示了一个关系，即 当前物理刺激和引起你感觉的额外物理刺激之间的关系。值得注意的是，上面这个韦伯定律的表示其实是费希纳给出的，而韦伯当时只是给出了一组实验以及一个描述。

为什么费希纳要总结这样一个公式？

因为费希纳希望得到一个更加普遍的关系，即 物理刺激的度量和心理感觉的度量之间的关系。这是一个定量的关系，他希望能用数学表达出精确的关系。所以，费希纳总结了韦伯的工作，并且将其命名为 韦伯定律。

费希纳为了得到更加普遍的物理刺激量和心理感觉量之间的关系，在他自己整理出的韦伯定律的式子的基础上，提出了自己的假设。

我不是费希纳，但是我也许能感觉到他当时的设想，因为如果是我的话，我也会这么想。

还是以10斤到11斤的重量变化，100斤到110斤的重量变化为例。虽然10斤到11斤只差了1斤，而100斤到110斤差了10斤，但是 在效果上却是相同的。 二者都是引发了 同样的心理感觉变化。进一步地，由韦伯定律可知，重量从1000斤到1100斤，也会引发与前二者相同的心理感觉变化。如果我们把能感受到的心理感觉变化视为一个基本单位，物理刺激和它的关系如下图所示：

非常容易理解，既然1斤，10斤，100斤，1000斤都能引起相同的心理感觉效果，那么将它们无限切割，对应到连续统动力学上，不管是1斤还是10斤，100斤，其中每一份小的物理刺激的增加，也同样能带来 小的且相同的心理感觉的变化 (只是这种心理学上微妙的变化没能引发我们的感觉而已，量变在$K\times I$K×I的时候才会引起质变)。

按照这个假设，设心理感觉量为$y$y，在当前刺激$x$x下，能引发心理感觉的额外刺激量为$K\times x$K×x，根据韦伯定理，上图中的感觉量小份$\Delta y$Δy则为：

$\Delta y=\alpha \times \dfrac{\Delta x}{\Delta I_x}=\dfrac{\alpha}{K}\times \dfrac{\Delta x}{\frac{\Delta I_x}{K}}=k\times \dfrac{\Delta x}{x}$Δy=α×ΔIx​Δx​=Kα​×KΔIx​​Δx​=k×xΔx​

写成微积分的形式就是，设$y=f(x)$y=f(x)，则有：

$f\prime(x)=\dfrac{df(x)}{dx}=k\times \dfrac{dx}{x}$f′(x)=dxdf(x)​=k×xdx​

解方程则有：

$f(x)=k\times lnx +C$f(x)=k×lnx+C

哇！原来是对数关系！

就这样。一开始费希纳并不知道这是个对数关系，在韦伯的工作的基础上，结合自己的实验以及大胆的假设，才最终推导出了这个对数关系，最终我们通过这个对数关系可以获知：人的感觉滞后于物理刺激的变化。

最后，人们得到的东西实在是太多了，这个费希纳定律解释了为什么长发突然刮成光头会很爽，这也解释了为什么食色性在频繁满足后会厌倦，等等等等，不一而足。

… 很晚了。不过…

我得说说我对这种数学公式的理解。

几乎任何可以用数学式子表示的定律，都是从 一个假设 开始的，之后加上一个 求证 的过程，是为 大胆假设，小心求证 。基于最初的假设，大段大段地整理数学式子，最终，哇，这么漂亮的一个结论！

也就是说，就算是作者本人可能一开始也不知道最终的结论性的数学式子长什么样子，他一开始只是假设几条简单的他认为自洽，和谐的假设，然后用数学技巧一步一步推导，最后得到一个化简后的式子。如果大自然是简单优美的，那么能正确描述大自然的式子一定就是简单优美的，至少迄今为止，还没看到哪个科学家喜欢复杂。

所以说，像平方反比律，像$E=m\times C^2$E=m×C2这种，都是结论，而不是前提。最终，当他有了这种简单式子表示的结论后，他便可以从式子的数学性质来获取其物理意义的关联了，就是这样，而不是反过来。

但是我们的学校在教这些定律时，恰恰是反过来教的，老师一般会先给出式子，然后给出一个证明，最后做几道使用这个式子解答的作业题，老师会让我们把式子背下来，以应对考试之需。

由于大脑容量有限，一旦考完试，这些东西就再也用不到了，于是就都忘了…其实正确的做法中应该包含一个故事的，即人们碰到了什么问题，然后有个科学家提出了什么样的假设，他如何用数学表示他的假设，他如何一步一步地根据他的假设得到最终的那个老师让我们背下来的公式。是这样。

皮鞋没有登上，露着白袜子！