语言中对角线和反对角线_第一百七十二夜：平行四边形对角线平方和

青山不移&＃xff0c;流云来去&＃xff0c;过往云烟&＃xff0c;如如不动。

不若埋首烟波&＃xff0c;一飨浮生。

人情事端&＃xff0c;自是不适&＃xff0c;何妨挂帆高咏&＃xff0c;任由叶落纷纷。

人生如此&＃xff0c;浮生如斯。

1 围观&＃xff1a;一叶障目&＃xff0c;抑或胸有成竹

平行四边形在解析几何中司空见惯&＃xff0c;无非是涉及边长、对角线、周长、面积等基本量。除此之外&＃xff0c;探索平行四边形是否为菱形亦是常见考法。

验证对角线的平方和为定值&＃xff0c;可先通过特殊位置求得定值&＃xff0c;然后再推证对一般情况成立&＃xff0c;也可直接推理求得定值。

2 套路&＃xff1a;手足无措&＃xff0c;抑或从容不迫

3 脑洞&＃xff1a;浮光掠影&＃xff0c;抑或醍醐灌顶

本题看似复杂&＃xff0c;实则不堪一击&＃xff0c;原因在于平行四边形较为特殊&＃xff0c;具有良好的性质。

法1&＃xff0c;设对角线的方程。联立椭圆求得弦长与中点&＃xff0c;进而求得对角线平方和。注意讨论斜率不存在的情况。

法2&＃xff0c;设一边的方程。联立椭圆求得两邻边的长度&＃xff0c;借助平行四边形的性质求得对角线平方和。

单就本题&＃xff0c;法2绝对惊艳。

上述定理中&＃xff0c;OA与OB的斜率之积为定值&＃xff0c;这个定值并非偶然。如果你一直在关注&＃xff0c;一定会发现OA与OB互为“共轭直径”。

当然&＃xff0c;法2已经很好了&＃xff0c;但个人仍旧对极坐标一往而深。

更多关于四边形的问题&＃xff0c;可参考“第一百五十三夜”。

你若不来&＃xff0c;所有精彩只能用寂寞去掩盖。

4 操作&＃xff1a;行同陌路&＃xff0c;抑或一见如故

兴来一挥百纸尽&＃xff0c;骏马倏忽踏九州。
我书意造本无法&＃xff0c;点画信手烦推求。