利用Python深入学习《微积分B》：掌握微分法精髓

作者：燕子的世界是什么 | 来源：互联网 | 2024-10-26 10:30

本章节聚焦于《微积分B》中多元函数导数（即微分）的核心计算技术，涵盖多元复合函数的求导规则、多元隐函数的导数求解及多元隐函数系统的导数分析。首先，通过回顾一元复合函数的链式法则，逐步引入并深化对多元复合函数链导法的理解与应用。这一部分不仅强化了理论基础，还结合Python编程实践，使学习者能够熟练掌握并灵活运用这些关键的微分技巧。

本节主要介绍多元函数导数（微分）的计算方法，包括：多元复合函数求导法则、多元隐函数求导、多元隐函数组求导三个子话题。

一、多元复合函数链导法

1，一元复合函数“链导法”
回顾一下，一元复合函数求导的方法 —— “链导法”（chain rule）：

y = f (u), u = g (x) \Rightarrow d y d x = d y d u \cdot d g d x

“链导法”这个名字很形象，由外而内逐层求导，像一个链条。事实上，“链导法”不仅适用于一元复合函数，也适用于多元复合函数。
2，一元与多元复合函数“链导法”
这类复合函数，从外层看是多元（二元）函数，从内层看是一元函数，如下：

z = f (u, v), u = φ (t), v = ψ (t) \Rightarrow d z d t = \partial z \partial u d u d t + \partial z \partial v d v d t

如上式，它在各个分量上面，也是由外而内逐层求导。不同的是，外层是偏导数（二元函数），内层是导数（一元函数）。
3，多元与多元复合函数“链导法”
这类复合函数，从外层和内层看都是多元（二元）函数，如下：

z = f (u, v), u = φ (x, y), v = ψ (x, y) \Rightarrow ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ \partial z \partial x = \partial z \partial u \partial u \partial x + \partial z \partial v \partial v \partial x \partial z \partial y = \partial z \partial u \partial u \partial y + \partial z \partial v \partial v \partial y

如上式，它在各个分量上面，也是由外而内逐层求导。不同的是，它用的偏导数。
注：关于求导法则，还可以参考以下链接
https://www.khanacademy.org/math/calculus-home/taking-derivatives-calc/chain-rule-calc/a/chain-rule-overview
https://www.mathsisfun.com/calculus/derivatives-rules.html
http://mathinsight.org/chain_rule_multivariable_introduction
http://www.columbia.edu/itc/sipa/math/calc_rules_multivar.html
4，全微分形式不变性
回顾一下，一元函数微分具有形式不变性，而多元函数全微分同样也具有形式不变性，如下：

z = f (u, v) \Rightarrow d z = \partial z \partial u d u + \partial z \partial v d v

如果 u、v是 x 、 y 的函数，通过链导法可得

u = φ (x, y), v = ψ (x, y) \Rightarrow d z = \partial z \partial x d x + \partial z \partial y d y

观察上面的两个全微分式，可以发现：自变量替换后，全微分的形式保持不变。
5，应用Python - sympy 求复合函数导数的时候，隐藏了链导过程，举例如下：

from sympy import *
init_printing()
# Example 1
u,v=symbols('u v')
x,y,z=symbols('x y z')
u = x * y
v = x + y
z = E ** u * sin(v)
z

e x var cpro_id = "u6885494";

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