作者：心動寶貝r | 来源：互联网 | 2023-08-28 12:13
上一篇《压缩感知进阶——有关稀疏矩阵》中我们已经讲过了压缩感知原理、应用领域、可行性以及恢复信号机制，后面有朋友陆续反应希望有一个CS版Helloworld，这里我就借用香港大学沙威大牛的
上一篇《压缩感知进阶——有关稀疏矩阵》中我们已经讲过了压缩感知原理、应用领域、可行性以及恢复信号机制，后面有朋友陆续反应希望有一个CS版Helloworld，这里我就借用香港大学沙威大牛的一个程序在代码层面对CS做一讲解。
Keywords: 压缩感知 compressive sensing, 稀疏（Sparsity）、不相关（Incoherence）、随机性（Randomness）
先给出Code：
- % 1-D信号压缩传感的实现(正交匹配追踪法Orthogonal Matching Pursuit)
- % 测量数M>=K*log(N/K),K是稀疏度,N信号长度,可以近乎完全重构
- % 编程人--香港大学电子工程系 沙威 Email: wsha@eee.hku.hk
- % 编程时间：2008年11月18日
- % 文档下载: http:
- % 参考文献：Joel A. Tropp and Anna C. Gilbert
- % Signal Recovery From Random Measurements Via Orthogonal Matching
- % Pursuit，IEEE TRANSACTIONS ON INFORMATION THEORY, VOL. 53, NO. 12,
- % DECEMBER 2007.
-
- clc;clear
-
- %% 1. 时域测试信号生成
- K=7; % 稀疏度(做FFT可以看出来)
- N=256; % 信号长度
- M=64; % 测量数(M>=K*log(N/K),至少40,但有出错的概率)
- f1=50; % 信号频率1
- f2=100; % 信号频率2
- f3=200; % 信号频率3
- f4=400; % 信号频率4
- fs=800; % 采样频率
- ts=1/fs; % 采样间隔
- Ts=1:N; % 采样序列
- x=0.3*cos(2*pi*f1*Ts*ts)+0.6*cos(2*pi*f2*Ts*ts)+0.1*cos(2*pi*f3*Ts*ts)+0.9*cos(2*pi*f4*Ts*ts); % 完整信号,由4个信号叠加而来
-
- %% 2. 时域信号压缩传感
- Phi=randn(M,N); % 测量矩阵(高斯分布白噪声)64*256的扁矩阵，Phi也就是文中说的D矩阵
- s=Phi*x.'; % 获得线性测量 ，s相当于文中的y矩阵
-
- %% 3. 正交匹配追踪法重构信号(本质上是L_1范数最优化问题)
- %匹配追踪：找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的小波；在数据中去除这个标记的所有印迹；不断重复直到我们能用小波标记“解释”收集到的所有数据。
-
- m=2*K; % 算法迭代次数(m>=K)，设x是K-sparse的
- Psi=fft(eye(N,N))/sqrt(N); % 傅里叶正变换矩阵
- T=Phi*Psi'; % 恢复矩阵(测量矩阵*正交反变换矩阵)
-
- hat_y=zeros(1,N); % 待重构的谱域(变换域)向量
- Aug_t=[]; % 增量矩阵(初始值为空矩阵)
- r_n=s; % 残差值
-
- for times=1:m; % 迭代次数(有噪声的情况下,该迭代次数为K)
- for col=1:N; % 恢复矩阵的所有列向量
- product(col)=abs(T(:,col)'*r_n); % 恢复矩阵的列向量和残差的投影系数(内积值)
- end
- [val,pos]=max(product); % 最大投影系数对应的位置，即找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的小波
- Aug_t=[Aug_t,T(:,pos)]; % 矩阵扩充
-
- T(:,pos)=zeros(M,1); % 选中的列置零（实质上应该去掉，为了简单我把它置零），在数据中去除这个标记的所有印迹
- aug_y=(Aug_t'*Aug_t)^(-1)*Aug_t'*s; % 最小二乘,使残差最小
- r_n=s-Aug_t*aug_y; % 残差
- pos_array(times)=pos; % 纪录最大投影系数的位置
- end
- hat_y(pos_array)=aug_y; % 重构的谱域向量
- hat_x=real(Psi'*hat_y.'); % 做逆傅里叶变换重构得到时域信号
-
- %% 4. 恢复信号和原始信号对比
- figure(1);
- hold on;
- plot(hat_x,'k.-') % 重建信号
- plot(x,'r') % 原始信号
- legend('Recovery','Original')
- norm(hat_x.'-x)/norm(x) % 重构误差
程序运行结果:
其中红色是原信号，黑色是恢复后的信号，可见利用压缩感知的恢复情况非常好。
具体讲解和原理我在下面写了，由于csdn中公式真心不好写，我只能用手写了，请大家见谅。
关于压缩感知的原理请详见上一篇文章《压缩感知进阶——有关稀疏矩阵》和《初始压缩感知——Compressive Sensing》。
转载自：http://blog.csdn.net/abcjennifer/article/details/7775284
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