新兴机器学习算法：在线学习

前面介绍的是对于所有训练样本{(xi,yi)}i=1->n同时进行学习的回归、分类算法。一般来说，在训练样本不同时给定的情况下，比起将所有的训练样本集中起来同时进行学习，把训练样本逐个输入到学习算法中，并在新的数据进来的时候马上对现在的学习结果进行更新，这样的逐次学习算法更加有效。本篇博客介绍可以进行逐次学习的在线学习算法，当训练样本总数n非常大的时候，在线学习算法对于有限内存的利用、管理来说非常有效，是大数据时代的一种优秀的机器学习算法。

为了便于理解，仅仅讨论简单的关于输入的线性模型：

但是，这里讨论的内容，都可以直接扩展为与参数相关的线性模型：

2.1 梯度下降量的抑制

回归和分类中对参数的学习都是使与训练样本相关的损失达到最小。在训练样本(x,y)逐个给定的在线学习中，可以使用随机梯度算法进行参数的更新。首先切得与新输入的训练样本(x,y)相关的损失J的梯度▽J。然后朝着梯度下降的方向对参数Θ进行更新。

在这里，e为表示梯度下降幅度的正常值。

概率梯度下降法中，当梯度下降幅度过大时，学习结果往往会不稳定；而当梯度下降幅度过小时，又会使得收敛速度变慢。

梯度下降法中幅度的设定

下降幅度过大，学习结果不稳定；下降幅度过小，收敛速度慢

一般来说，如果能合理选择平方损失等损失函数的话，也能一起呵成地使梯度快速下降到谷底（也就是说可以求得下降过程中的最有解析解，即平稳解）。

因此，一般会引入一个惩罚系数，即偏离现在的解Θ'的幅度，对梯度下降量进行适当的调整：

其中，λ为正的标量。这样的学习方法对基金的梯度下降可以进行有效地抑制，称为被动攻击学习。

2.2 被动攻击分类

进行分类时的损失函数，一般使用Hinge损失的平方形式，即二乘Hinge损失：

在这里，m=Θ'xy表示的是间隔。二乘Hinge损失，可以用损失右侧等于零是的损失来解释：

与分类问题相对应的二乘Hinge损失

与二乘Hinge损失相对应的被动攻击学习中，可以求得解析解。具体而言，先进行分解，变成一个最优化的问题：

继而利用拉格朗日乘子可以求解。

下图给出的是被动攻击分类的具体算法流程：

下图给出了被动攻击分类的实例：

被动攻击分类的实例

经过三次迭代后，基本上得到了与最终结果类似的分类，正样本和负样本都得到了很好的分离。

2.3 被动攻击回归

稍微改变一下损失函数的话，被动攻击学习的思想对回归问题也是适用的。在这里，对于残差r=Θ'x-y,使用L2损失或L1损失：

推到过程相同。可以的带如下与L2损失或L1损失相对应的如下参数更新规则。

被顶攻击学习中使用的是没有上界的损失函数，因此不能很好滴处理异常值。如果采用图基（Tukey）或Ramp损失等有上界的损失函数的话，就可以大幅度提高他对异常值的鲁棒性。然而，具有上界的损失函数是非凸函数，想要进行最优化求解往往很困难。

这里重点介绍一种利用在线学习特性的鲁邦学习方法——适应正则化学习。

3.1 参数分布的学习

适应正则化学习，并不只是对参数Θ进行学习，而是对参数的概率分布进行学习。具体而言，首先假定参数Θ的概率分布为高斯分布。用下面的概率密度函数决定概率分布：

期望为u=(0,0)'/协方差矩阵为（2,1；1,2）的高斯分布

适应正则化学习中，对下式的规则为最小时所对应的Θ的期望值u和协方差矩阵∑进行学习：

第一项的J(u)，表示的是新输入的训练样本（x,y）满足参数Θ=u时的损失。第二项为协方差矩阵对应的正则化项，根据训练输入样本向量x的各种元素大小，对正则化的大小进行调整。第三项的作用于被动攻击学习类似，

即调整解的变化量。式中，C>0表示的是正则化参数的倒数，u'和∑'是当前迭代次数下对应的均值与协方差的解。KL（p||q）是概率密度函数p到q的KL距离：

同理，改变参数的更新规则，也可以利用适应正则化进行分类与回归。