现代控制理论pdf_《现代控制理论基础》—1基本数学基础

本次内容的话&＃xff0c;会讲一些基本的数学基础&＃xff0c;这些数学基础的难度不会很大&＃xff0c;选取的内容也都是为了能学好《现代控制理论基础》课程所必须掌握的数学内容。

这些数学基础&＃xff0c;大致分为两部分&＃xff0c;一是线性代数&＃xff0c;二是复变函数。这里需要掌握的数学知识其实并不是很多、很难&＃xff0c;线性代数的要求会低于大一学习这门课程时的要求&＃xff0c;复变函数的要求也大致仅限于自控中的要求。

1 线性代数

1.1 矩阵的乘法

矩阵乘法顾名思义就是两个矩阵相乘&＃xff0c;但是与代数中不同的是&＃xff0c;矩阵的乘法需要满足一个条件&＃xff0c;前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数。

其中

概括一下就是&＃xff0c;矩阵

的元素等于矩阵

对应行的元素从左往右和矩阵

对应列的元素从上往下依次相乘后求和。

有一个好消息是&＃xff0c;本课程中大部分题目&＃xff08;除了概念性的&＃xff0c;概念性的都是字母&＃xff09;都是

以下的矩阵运算&＃xff0c;主要也都是

以下的&＃xff0c;另外由于本课程本身的属性&＃xff0c;矩阵中会出现大量的

。最后&＃xff0c;作为一门工科课程&＃xff0c;计算器可是你的好帮手呢。

我们来看一个应用&＃xff0c;

这是在这门课程中&＃xff0c;会很普遍出现的东西&＃xff0c;可能会有一些疑惑&＃xff0c;这个

的行数为什么是

&＃xff0c;其实这个

本身是一种简写&＃xff0c;实际上

&＃xff0c;

同理&＃xff0c;我们来看一下上面这题的计算结果。

留下一道训练题&＃xff0c;求

1.2 矩阵的转置

我刚刚其实已经用到了矩阵的转置

&＃xff0c;当然&＃xff0c;我前面使用转置只是为了让文章看起来美观一点&＃xff0c;下面来看一下转置的定义&＃xff0c;很容易掌握。

概括一下就是&＃xff0c;第

行第

列的元素变换到第

行第

列&＃xff0c;同理一个

的矩阵转置后是一个

的矩阵。

转置有几个性质需要理解一下&＃xff0c;有助于你将来分析这门课程中的一些定理。

1.3 行列式的值

我个人把行列式求值分为两类&＃xff0c;一类是二阶和三阶行列式&＃xff0c;用对角线法则计算&＃xff0c;另一类是四阶以上行列式&＃xff0c;我喜欢用代数余子式降阶计算&＃xff08;实际上四阶以上也是有特殊的对角线法则的&＃xff0c;另外还有几种其他方法求解&＃xff0c;比如化零等&＃xff09;。

二阶、三阶行列式

四阶及以上行列式

行列式

余子式

很容易分析得出&＃xff0c;第

行第

列的余子式其实就是把原行列式的第

行和第

列删除。

代数余子式

而行列式的值&＃xff0c;等于它的任一行&＃xff08;列&＃xff09;的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和。

具体你想展开哪一行、哪一列呢&＃xff0c;当然是要选择零多的那行、那列了。

在本门课程中&＃xff0c;大部分情况是三阶行列式&＃xff0c;但是四阶的也必须掌握。

1.4 矩阵的逆

首先要是方阵才具有逆矩阵&＃xff0c;

&＃xff0c;我们把

称为

的逆矩阵&＃xff0c;记为

其中的

为单位矩阵

求解逆矩阵的方式是通过求解伴随矩阵

&＃xff0c;再除以行列式的值。

需要注意的是&＃xff0c;伴随矩阵

是位置经过转置后的代数余子式组成的矩阵。

1.5 矩阵的秩

矩阵的秩

&＃xff0c;本身涉及到的知识点是矩阵的初等变换&＃xff0c;最通常的方法就是&＃xff0c;通过初等行变换&＃xff0c;把元素往上集中&＃xff0c;尽可能的让下面行的元素为

&＃xff0c;最后变换成行阶梯矩阵后&＃xff0c;矩阵有多少行是非零的&＃xff0c;就代表了矩阵的秩是多少。

有一个性质需要掌握的是&＃xff0c;矩阵转置前后的秩是相等的。

下面来看一道题目。

1.6 特征值和特征向量

这部分可能会比较难懂&＃xff0c;就连定义看起来都可能有点长&＃xff0c;但是本节其实很重要&＃xff0c;因为涉及到对角化的计算都会用到特征值和特征向量。

如果读完还是看不懂的话&＃xff0c;推荐还是完整的去看看线代的教材和PPT里面关于这部分的描述&＃xff0c;但是需要注意的是&＃xff0c;由于本课程为工程应用型的课程&＃xff0c;所以在定义的时候本身可能是以逆矩阵为定义的&＃xff0c;这与线性代数中的定义会产生区别。

ps: 基本上做两道题就懂了&＃xff0c;不用很难&＃xff0c;三阶即可

特征值

我们从一个表达式出发。

定义

是一个

阶的方阵&＃xff0c;

是一个

维的非零列向量&＃xff0c;

。于是&＃xff0c;把

称为特征值&＃xff0c;

称为特征值为

时的特征向量。

上式改写一下就是&＃xff0c;

&＃xff0c;为使

有非零的解&＃xff0c;显然

接下来要做的事情就是求解这个

次多项式了&＃xff0c;对应了

个零点&＃xff08;含重根&＃xff09;&＃xff0c;也对应了

个特征值。

特征向量

针对每个特征值&＃xff0c;代入原方程中&＃xff0c;

&＃xff0c;求得特征向量

矩阵的对角化

我们将得到的

个

作为列向量组成矩阵

&＃xff0c;于是我们可以得到一个对角阵。

2 复变函数

主要还是要基本掌握拉普拉斯变换反变换和一些基本性质&＃xff0c;例如微分/积分的拉普拉斯变换、卷积定理等。

下面列两个例子。

第二个是卷积定理&＃xff0c;具体的使用还是等哪天讲到再说吧。

最后&＃xff0c;要是有什么问题和建议的话&＃xff0c;欢迎在评论区与我讨论。

2020.04.05