微积分（二）导数悖论

目标&＃xff1a;
1.学习导数 2.怎么避免矛盾

导数的测量是&＃xff1a; Instantaneous rate of change
Instantaneous&＃xff08;瞬间&＃xff09; rate of change&＃xff08;需要不同的时间点&＃xff09;

瞬间的速度其实是没有意义的&＃xff0c;就像某一时刻给一个行动的汽车拍照&＃xff0c;它的速度是不能被计算的。
所以 速度的定义是&＃xff1a;单位时间内运行的距离
但是 看看速度函数&＃xff0c;一个瞬间时间可以得到对应的速度&＃xff0c;而计算速度却需要比较两个时间点的距离。
这就是悖论之处。

先看一下现实中车是怎么显示速度的&＃xff0c;用一小段时间内距离的变化表示&＃xff0c;即极小的时间段为dtdt&＃xff0c; 距离变化为dsds&＃xff0c; 速度v(t)就是dsdt&＃61;s(t&＃43;dt)−s(t)dtdsdt&＃61;s(t&＃43;dt)−s(t)dt。

真实的导数&＃xff0c;dtdt不是一个具体值&＃xff0c;而是当dtdt无限趋近于0这个比值的极限&＃xff0c;在图像上就逼近tt点的切线的斜率了。注意，这个dt" role="presentation" >dt$dt$不是无穷小也不是0&＃xff0c;只是一个有限小的量非常趋近于0罢了。

所以&＃xff0c;最好不要把求切线看作求 “某一点瞬间的变化率“ &＃xff0c;而是把他看作求” 某一点附近的变化率“ 的最佳近似。

把dtdt或者dsds当成有实际大小的变化量&＃xff0c;当计算他们的比率时是一个复杂的过程。然后把dtdt逼近0&＃xff0c;计算就会变得简单。
从图中可以看出当dtdt逼近0时&＃xff0c;dsdt(t)&＃61;3(t)2dsdt(t)&＃61;3(t)2。

关于导数的其他方面&＃xff0c;接下章节继续。

Reference

此博文图片和内容均来自于 https://www.youtube.com/channel/UCYO_jab_esuFRV4b17AJtAw