网络模型_寒假学习|网络模型（上）

       上大学很重要的一件事便是交朋友，今天就来探索两个关于友谊的有意思的现象，一个是友谊悖论，一个是六度分隔理论，它们的背后都有同一个网络模型。

友谊悖论：平均而言，人们的朋友所拥有的朋友比他们自己的朋友要多。换句话说，一个人的朋友要比他自己更受欢迎。

       这是一个乍听上去很反直觉，但仔细一想又不容易想清楚的一件事。根据我们的日常经验，有的人如被众星拱月般，名字总是在各个地方高频地出现，也有的人是“小透明”，存在感很低，大多数人其实处于中间地带。而友谊悖论给了我们许多宽慰：朋友少是大家共有的烦恼，朋友多的都是反常。

       结论的证明要用到不少数学概念，我这里打算绕开严格地证明，从某一角度来解释这件事。首先请看下面的两幅图，其中圆圈代表一个个体，线段的连接表示两个人配对成为了朋友。

       左图是一个“独裁”的社会，其中一个人有12个朋友，另外12个人分别有1个朋友，右图则是一个“平等”的社会，每个人都有4个朋友。现实中的人际关系网络一般处于两者之间，你既找不出一个比左图更不平等的网络，也找不出比右图更平等的网络（当然可以让每个人都有5个朋友，但平等的程度没有变化）。

       现在我们计算一下网络中每个人的朋友平均有多少个。对于左图而言是（12×1＋1×12）/13=24/13，也就是说平均下来每个人有不到两个朋友，但是他们朋友的朋友却有（12×12＋1×1）/13=145/13个（注：周围的每个小圆圈都只有中心点这一个朋友，中心点有12个朋友，周围的小圆圈有12个，所以是12×12；中心点的朋友只有中心点这一个朋友，所以中心点的朋友的朋友平均是1，只有1个中心点，所以是1×1）。可以看出来友谊悖论在这里成立。

       对于右图而言，因为每个人都有4个朋友，所以无论是每个人的朋友还是朋友的朋友，平均数都是4。这也就意味着，只有在像右图这样的完全平等的理想网络里，友谊悖论才取“=”号，其余情况都是“<”号。读者不妨自己画几个网络试一试，下面是一般的网络情况，可以拿来验证一下友谊悖论，这里不详述了。

       友谊悖论其实还可以再拓展，如果我们假定活泼、快乐、友善的人会有更多的朋友，那么平均而言一个人的朋友会比他自己更活泼、更快乐、更友善，对这个结论感兴趣的读者可以自己建立模型证明一下。不过这个结论给了我们很深刻的启示。每次到课程大作业或者srtp这种需要组队的关头，我们常听人说“大佬带我”，而很少有“菜鸟跟我”，这其实就是友谊悖论让我们的朋友比自己厉害，所以“求大佬带飞”是我们共有的忧愁……（当然这里也忽略了一些因素，比如真正的大佬都不随便说话）

       友谊悖论还可以迁移到其它类型的网络里，比如一篇论文引用的文献的被引次数会比这篇论文本身更多（多么悲哀的真相……）

       受篇幅所限，关于六度分隔理论的介绍就放到下次的推送里了。

文案：杨明哲

排版：彭炜程