推导Beta分布公式

Beta分布可以用于拟合各种不同的分布，网上各种资料对于Beta分布的原理着墨较多，却少有推导Beta分布公式的，所以，推导Beta分布公式如下：
设一组随机变量 ，将这n个随机变量排序后得到顺序统计量 ，计算落在区间 的概率，即求概率值 。将区间[0,1]分为三段 , , 。考虑简单情形，假设n个数中只有一个落在了区间 内。因为样本 是第i大的，则 中应该有i-1个数， 这个区间中应该有n-k个数。先考虑一个符合上述条件的事件E。

则有：

考虑较为复杂的情形，假设n个数中有两个数落在了区间 ，

则有：

从以上分析可以看出，只要落在 内的数字超过一个，则对应事件的概率就是 ，于是：

所以，可以得到 的概率密度函数为：

利用Gamma函数，可以把 表达为

取 ， ，于是得到：

此即为标准Beta分布的概率密度函数。更为一般的 分布概率密度函数为：
=
式中：

，
称 服从贝塔分布，简记为 。
形状参数 的表达式为：


式中， 为 的均值， 为 的方差。
通过 和 控制Beta分布概率密度函数的形状，可以模拟均匀分布到近似高斯分布等各种分布。
得到一组样本数据后，通过调整eta分布的形状参数 可以对样本数据进行拟合，通常，可以利用最小二乘法计算形状参数 。