等比序列的实际应用—等额本息还款金额公式推导

缘起

等额本息是买房按揭贷款时最常用的一种还款方式，其意义从字面就可以理解，就是每期还款的本金加利息之和相等。我们在计算每期应还本金和利息时，在Excel中可以方便的使用函数PMT(rate,nper,pv)计算每期本金利息和；PPMT(rate,per,nper,pv)计算每期本金（rate为还款周期利率，per为还款期次，nper为还款总期数，pv为贷款总额）。

函数很好用，但总觉得不够直观，我们看不到从本金、利率、期数算出结果的过程。其实通过在高等数学中的等比序列知识，不难把计算公式推导出来。下面为推导过程：

等额本息还款公式推导

设贷款还款方式为等额本息（按月还）。P为整笔贷款本金，M为贷款总月数（期供总数），R为月利率，V为每期应还本金利息和；Pn为第n期应还本金，Vn为第n期应还本息和。有：

第1期应还本息和 = P1+(P1+P2+...+PM)*R

第2期应还本息和 = P2+(P2+P3+...+PM)*R

第3期应还本息和 = P3+(P3+P4+...+PM)*R

...

第M期应还本息和 = PM+PM*R

第一步推论：Pn=P1*(1+R)^(n-1)

按照等额本息的定义，每期应还本金和利息总和相等。则有：

V1=V2=V3=V

由V1=V2，

P1+(P1+P2+...+PM)*R = P2+(P2+P3+...+PM)*R

=》P1+P1*R+(P2+P3+...+PM)*R = P2+(P2+P3+...+PM)*R

=》P1+P1*R = P2

=》 P2 = P1*(1+R)

同理，由V2=V3，

=》 P3 = P2*(1+R) = P1*(1+R)^2

由V(n-1)=Vn，

=》 Pn = P1*(1+R)^(n-1)

第二步推论：P1=P*R/((1+R)^M-1)

再由P=P1+P2+...+PM推导，得：

P = P1+P2+...+PM = P1+P1*(1+R)+P1*(1+R)^2+...+P1*(1+R)^(M-1)

注意上述公式是一个等比序列求和问题。先复习下等比序列基础知识：

有数列 a1,a2,a3,...,an,...

如果a2/a1=a3/a2=...=an/a(n-1)=...=q，q≠0，则这个数列为等比数列。

等比数列求和公式：

Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)

结合等比数列求和公式，此处q=1+R, n=M,得

P = P1+P2+...+PM = P1+P1*(1+R)+P1*(1+R)^2+...+P1*(1+R)^(M-1)

= P1*(1-(1+R)^M)/(1-(1+R))

= P1*((1+R)^M-1)/R

求P1，得：

P1=P*R/((1+R)^M-1)

第三步：结论

由第二步P1公式，代入Pn=P1*(1+R)^(n-1),得：

Pn=P*R*(1+R)^(n-1)/((1+R)^M-1)

这就是每期应还的本金。每期应还的本息和为：

V=V1

=P1+P*R

= P*R/((1+R)^M-1)+P*R

= P*R*(1/((1+R)^M-1) + 1)

= P*R*(1+R)^M/((1+R)^M-1)

至此，得到结论。

等额本息贷款每期应还本金：

                         n - 1
          P * R * (1 + R)
     Pn = --------------------
                     M
              (1 + R)  - 1

等额本息贷款每期应还本息和：

                         M
          P * R * (1 + R)
      V = ----------------
                   M
            (1 + R)  - 1

PS.

数学其实是挺有用的一门学科。回想之前的学习过程，如果学校里面的老师能够多举一些类似计算还款金额这种的实际应用例子，学习过程可能就会有趣得多了……

©篮球宝宝

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