3.多变量线性回归 （Linear Regression with multiple variable）

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3.1 多维特征(Multiple Features)

• n 代表特征的数量
• x(i)代表第 i 个训练实例,是特征矩阵中的第 i 行,是一个向量(vector)。
• x(i)j代表特征矩阵中第 i 行的第 j 个特征,也就是第 i 个训练实例的第 j 个特征。

多维线性方程：

hθ=θ0+θ1x+θ2x+...+θnx

这个公式中有 n+1 个参数和 n 个变量,为了使得公式能够简化一些,引入 x0=1, 所以参数θ和训练样本X都是n+1 纬的向量
θ=??????θ0θ1?θn??????
X=??????x0x1?xn??????

多维线性方程 简化为：

hθ=θTX

3.2 多变量梯度下降(Gradient descent for multiple variables)

cost function :

J(θ)=12m∑1m(hθ(x(i))?y(i))2

在 Octave 中,写作: J = sum((X * theta - y).^2)/(2*m);

梯度下降公式：

θj:=θj?α??θjJ(θ0,θ1)

=θj?α1m∑1m（(hθ(x(i))?y(i))?x(i)j）

在 Octave 中,写作:

theta=theta?alpha/m?X′?(X?theta?y);

3.3 特征缩放(feature scaling)

以房价问题为例,假设我们使用两个特征,房屋的尺寸和房间的数量,尺寸的值为 0- 2000 平方英尺,而房间数量的值则是 0-5,绘制代价函数的等高线图,看出图像会显得很扁,梯度下降算法下降的慢，而且可能来回震荡才能收敛。

mean normalization

解决的方法是尝试将所有特征的尺度都尽量归一化到-1 到 1 之间。最简单的方法是令xi?μi 代替 xi,使得特征的平均值接近0（x0除外） :

3.4 学习率(Learning rate)

1. 确保梯度下降working correctly
   绘制迭代次数和代价函数的图表来观测算法在何时趋于收敛。下降说明正常
   

若增大或来回波动，可能是α过大

2.如何选取 α
先在10倍之间取，找到合适的区间后，在其中再细化为3倍左右(log)
We recommend trying values of the learning rate α on a log-scale, at multiplicative steps of about 3 times the previous value
α=…,0.001,0.01,0.1,1,…
α=…,0.001,0.03,0.01,0.03,0.1,0.3,1,…

3.5 多项式回归(Features and Polynomial Regression)

房价预测问题
已知x1=frontage(临街宽度),x2=depth(纵向深度),则hθ=θ0+θ1x1+θ2x2
若用 x=frontage*depth=area(面积),则hθ=θ0+θ1x 会得到更有意义的回归方程

线性回归并不适用于所有数据,有时我们需要曲线来适应我们的数据,比如一个二次方模型或三次方模型（考虑到二次方程的话总会到最高点后随着size↑，price↓，不合常理；因此选用三次方程进行拟合更合适。）:

或采用第二个式子：

特征归一化很重要，使得不同feature之间有可比性

3.6 正规方程(Normal Equation)

之前用梯度下降算法,但是对于某些线性回归问题,正规方程方法更好。
要找到使cost function J(θ)最小的θ，就是找到使得导数取0时的参数θ：

X是m×(n+1)的矩阵，y是m×1的矩阵,正规方程(Normal Equation):

θ=(XTX)?1XTy

在 Octave 中,正规方程写作:

pinv(X′?X)?X′?y

注:对于那些不可逆的矩阵(通常是因为特征之间不独立,或特征数量大于训练集的数量),正规方程方法是不能用的。

3.7 练习