【数学】1.分布函数与概率密度函数

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随机变量分为离散型&＃xff08;discrete&＃xff09;、连续型&＃xff08;continuous&＃xff09;&＃xff1b;变量的取值来自一个集合&＃xff0c;可以是有限集&＃xff0c;也可以是无限集。对于无限集&＃xff0c;可以是离散的&＃xff0c;也可以是连续的&＃xff0c;前者对应于整数集&＃xff0c;后者对应于实数集。

随机变量是取值有多种可能并且取每个值都有一个概率的变量。离散型随机变量的取值为有限个或者无限可列个&＃xff08;整数集是典型的无限可列&＃xff09;&＃xff0c;连续型随机变量的取值为无限不可列个&＃xff08;实数集是典型的无限不可列&＃xff09;。

1.离散型随机变量的概率怎么表示&＃xff1f;

描述离散型随机变量的概率分布的工具是概率分布表&＃xff0c;它由随机变量取每个值的概率p(x &＃61; xi )&＃61; pi依次排列组成。

它满足&＃xff1a;

下面是一个概率分布表的例子&＃xff1a;

表2.2 一个随机变量的概率分布表

2.连续型随机变量的概率怎么表示&＃xff1f;

把分布表推广到无限情况&＃xff0c;就可以得到连续型随机变量的概率密度函数。此时&＃xff0c;随机变量取每个具体的值的概率为0&＃xff0c;但在落在每一点处的概率是有相对大小的&＃xff0c;描述这个概念的&＃xff0c;就是概率密度函数。你可以把这个想象成一个实心物体&＃xff0c;在每一点处质量为0&＃xff0c;但是有密度&＃xff0c;即有相对质量大小。

一个函数如果满足如下条件&＃xff0c;则可以称为概率密度函数&＃xff1a;

这可以看做是离散型随机变量的推广&＃xff0c;积分值为1对应于取各个值的概率之和为1。分布函数是概率密度函数的变上限积分&＃xff0c;它定义为&＃xff1a;

显然这个函数是增函数&＃xff0c;而且其最大值为1。分布函数的意义是随机变量的概率。注意&＃xff0c;连续型随机变量取某一个值的概率为0&＃xff0c;但是其取值落在某一个区间的值可以不为0&＃xff1a;

虽然连续型随机变量取一个值的概率为0&＃xff0c;但取各个不通过的值的概率还是有相对大小的&＃xff0c;这个相对大小就是概率密度函数。这就好比一个物体&＃xff0c;在任意一点处的质量为0&＃xff0c;但在这一点有密度值&＃xff0c;密度值衡量了在各点处的质量的相对大小。

3.总结

分布函数&＃xff1a;它的意义是随机变量的概率&＃xff1b;

概率密度函数&＃xff1a;随机变量取每个具体的值的概率为0&＃xff0c;但在落在每一点处的概率是有相对大小的&＃xff0c;描述这个概念的&＃xff0c;就是概率密度函数。