利用神经网络破解数学难题：求解偏微分方程的新途径

据Quantamagazine报道，科学家们正利用人工智能中的深度神经网络技术，来解决数学领域中一类特别难以处理的问题——偏微分方程(PDE)。这一进展不仅简化了复杂系统的数学建模过程，还大幅提升了计算速度。

挑战重重的偏微分方程

中学物理课上，我们通过简单的例子学习了牛顿第二定律，即力等于质量乘以加速度。当系统中只有一个独立变量（通常是时间）时，这一定律可以被表达为一个常微分方程。然而，在现实世界中，多个力同时作用于复杂系统的多个部分，比如飞机飞行、地震波传播或疾病扩散等现象。为了准确描述这些现象，科学家和工程师们必须依赖偏微分方程。尽管PDE在科学研究和技术应用中极为重要，但求解它们往往极其困难，有时甚至需要耗费数百万个CPU小时。

深度神经网络的革新作用

自上世纪40年代以来，神经网络作为一种模仿人脑工作原理的技术，一直在不断发展。人工神经网络能够通过多层结构处理大量数据，从中学习并作出预测。近年来，研究人员开发了一种新型神经网络，能够快速近似偏微分方程的解。更重要的是，这类网络一旦训练完成，不仅能解决特定的PDE，还能应对整个PDE家族，无需再次训练。

训练过程涉及提供一系列输入数据，让网络尝试生成相应的输出，再将这些输出与已知答案对比，通过调整内部参数来最小化误差。随着训练次数的增加，网络逐渐学会如何准确地映射输入与输出。此外，这种新技术在无限维空间间的映射能力，为解决PDE提供了前所未有的可能性。

加州理工学院的Anima Anandkumar和普渡大学的Kamyar Azizzadenesheli共同开发了一种名为傅立叶神经算子的网络，能够高效地解决整个PDE家族的问题。这项技术有望替代传统且耗时的PDE求解方法，极大地推动了相关领域的研究进展。