数据结构——《大话数据结构》之时间复杂度

声明：该文章中内容为《大话数据机构》一书中的内容

1 函数的渐近增长

我们现在来判断一下，两个算法A和B哪个更好。假设两个算法的输入规模都是n，算法A要做2n + 3次操作，你可以理解为先有一个n次的循环，执行完成后，再有一个n次循环，最后有三次赋值或运算，共2n + 3次操作。算法B要做3n + 1次操作。你觉得它们谁更快呢？

准确说来，答案是不一定的（如表2-8-1所示）。

当n = 1时，算法A效率不如算法B（次数比算法B要多一次）。而当n = 2时，两者效率相同；当n > 2时，算法A就开始优于算法B了，随着n的增加，算法A要越来越好过算法B了（执行的次数比Ｂ要少）。于是我们可以得出结论，算法A总体上要好过算法B。

此时我们给出这样的定义，输入规模n在没有限制的情况下，只要超过一个数值N，这个函数就总是大于另一个函数。我们称函数是渐近增长的。

函数的渐近增长：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n > N，f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。

从中我们发现，随着n的增大，后面的 +3还是 +1其实是不影响最终的算法变化的，例如算法A’与算法B’。所以，我们可以忽略这些加法常数。后面的例子，这样的常数被忽略的意义可能会更加明显。

我们来看第二个例子。算法C是4n + 8，算法D是2n2+ 1（如表2-8-2所示）。

当n <= 3的时候，算法C要差于算法D（因为算法C次数比较多），但当n > 3后，算法C的优势就越来越优于算法D了，到后来更是远远胜过。而当后面的常数去掉后，我们发现其实结果没有发生改变。甚至我们再观察发现，哪怕去掉与n相乘的常数，这样的结果也没发生改变，算法C’ 的次数随着n的增长，还是远小于算法D’。也就是说，与最高次项相乘的常数并不重要。

我们再来看第三个例子。算法E是2n2+ 3n + 1，算法F是2n3+ 3n + 1（如表2-8-3所示）。

当n = 1的时候，算法E与算法F结果相同，但当n > 1后，算法E的优势就要开始优于算法F，随着n的增大，差异非常明显。通过观察发现，最高次项的指数大的，函数随着n的增长，结果也会变得增长特别快。

我们来看最后一个例子。算法G是2n2，算法H是3n + 1，算法I是2n2+ 3n + 1（如表2-8-4所示）。

这组数据应该就看得很清楚。当n的值越来越大时，你会发现，3n+1已经没法和2n2的结果相比较，最终几乎可以忽略不计。也就是说，随着n值变得非常大以后，算法G其实已经很趋近于算法I。于是我们可以得到这样一个结论，判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略，而更应该关注主项（最高阶项）的阶数。

判断一个算法好不好，我们只通过少量的数据是不能做出准确判断的。根据刚才的几个样例，我们发现，如果我们可以对比这几个算法的关键执行次数函数的渐近增长性，基本就可以分析出，某个算法，随着n的增大，它会越来越优于另一算法，或者越来越差于另一算法。这其实就是事前估算方法的理论依据，通过算法时间复杂度来估算算法时间效率。

2 算法的时间复杂度

2.1 算法时间复杂度定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n) = O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。

一般情况下，随着n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

显然，由此算法时间复杂度的定义可知，我们的三个求和算法的时间复杂度分别为O(n)，O(1)，O(n2)。我们分别给它们取了非官方的名称，O(1)叫常数阶，O(n)叫线性阶，O(n2)叫平方阶，当然，还有其他的一些阶，我们之后会介绍。

2.2 推导大O阶方法

那么如何分析一个算法的时间复杂度呢？即如何推导大O阶呢？我们给出了下面的推导方法，基本上，这也就是总结前面我们举的例子

推导大O阶

1.用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2.在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

得到的结果就是大O阶。

哈，仿佛是得到了游戏攻略一样，我们好像已经得到了一个推导算法时间复杂度的万能公式。可事实上，分析一个算法的时间复杂度，没有这么简单，我们还需要多看几个例子。

2.3 常数阶

首先顺序结构的时间复杂度。下面这个算法，也就是刚才的第二种算法，为什么时间复杂度不是O(3)，而是O(1)。

intsum=0,n=100;/*执行一次*/

sum=(1+n)*n/2;/*执行一次*/

printf(&＃8220;%d&＃8221;, sum);/*执行一次*/

这个算法的运行次数函数是f(n)=3。根据我们推导大O阶的方法，第一步就是把常数项3改为1。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O(1)。

另外，我们试想一下，如果这个算法当中的语句sum=(1+n)*n/2有10句，即：

intsum=0, n=100;/*执行一次*/

sum=(1+n)*n/2;/*执行第1次*/

sum=(1+n)*n/2;/*执行第2次*/

sum=(1+n)*n/2;/*执行第3次*/

sum=(1+n)*n/2;/*执行第4次*/

sum=(1+n)*n/2;/*执行第5次*/

sum=(1+n)*n/2;/*执行第6次*/

sum=(1+n)*n/2;/*执行第7次*/

sum=(1+n)*n/2;/*执行第8次*/

sum=(1+n)*n/2;/*执行第9次*/

sum=(1+n)*n/2;/*执行第10次*/

printf(&＃8220;%d&＃8221;,sum);/*执行一次*/

事实上无论n为多少，上面的两段代码就是3次和12次执行的差异，这种与问题的大小无关（n的多少），执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。

注意，不管这个常数是多少，我们都记作O(1)，而不能是O(3)、O(12)等其他任何数字。这是初学者常常犯的错误。

对于分支结构而言，无论是真，还是假，执行的次数都是恒定的，不会随着n的变大而发生变化，所以单纯的分支结构（不包含在循环结构中），其时间复杂度也是O(1)。

2.4 线性阶

循环结构就会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，我们要分析算法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。

下面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)。因为循环体中的代码须要执行n次。

inti;

for(i=0; i

{

/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/

}

2.5 对数阶

那么下面的这段代码，时间复杂度又是多少呢？

intcount=1;

while(count

{

count=count*2;

/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/

}

由于每次count乘以2之后，就距离n更近了一分。也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。由2x=n得到x=log2n。所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

2.6 平方阶

下面的例子是一个循环嵌套，它的内循环刚才我们已经分析过，时间复杂度为O(n)。

inti,j;

for(i=0; i

{

for(j=0; j

{

/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/

}

}

而对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句，再循环n次。所以这段代码的时间复杂度为O(n2)。

如果外循环的循环次数改为了m，时间复杂度就变为O(m×n)。

inti,j;

for(i=0; i

{

for(j=0; j

{

/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/

}

}

所以我们可以总结得出，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。

那么下面这个循环嵌套，它的时间复杂度是多少呢？

inti,j;

for(i=0; i

{

for(j=i; j

{

/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/

}

}

由于当i = 0时，内循环执行了n次，当i = 1时，执行了n－1次，……当i = n－1时，内循环执行了1次。所以总的执行次数为

用我们推导大O阶的方法，第一条，没有加法常数不予考虑；第二条，只保留最高阶项，因此保留n2/2；第三条，去除这个项相乘的常数，也就是去除1/2，最终这段代码的时间复杂度为O(n2)。

从这个例子，我们也可以得到一个经验，其实理解大O推导不算难，难的是对数列的一些相关运算，这更多的是考察你的数学知识和能力，所以想考研的朋友，要想在求算法时间复杂度这里不失分，可能需要强化你的数学，特别是数列方面的知识和解题能力。

我们继续看例子，对于方法调用的时间复杂度又如何分析。

inti,j;

for(i=0; i

{

function(i);

}

上面这段代码调用一个函数function。

voidfunction(intcount)

{

print(count);

}

函数体是打印这个参数。其实这很好理解，function函数的时间复杂度是O(1)。所以整体的时间复杂度为O(n)。

假如function是下面这样的：

voidfunction(intcount)

{

intj;

for(j=count; j

{

/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/

}

}

事实上，这和刚才举的例子是一样的，只不过把嵌套内循环放到了函数中，所以最终的时间复杂度为O(n2)。

下面这段相对复杂的语句：

n++;/*执行次数为1*/

function(n);/*执行次数为n*/

inti,j;

for(i=0; i

{

function (i);

}

for(i=0; i

{

for(j=i;j

{

/*时间复杂度为O(1)的程序步骤序列*/

}

}

它的执行次数

，根据推导大O阶的方法，最终这段代码的时间复杂度也是O(n2)。