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实变函数自制笔记2：集合及其运算

作者：梁lxc_131 | 来源：互联网 | 2023-05-24 11:35

1、集合的简介：集合：具有某种特定性质的对象全体；比如自然数集、有理数集、实数集；元素：集合内的每个对象&#

1、集合的简介&＃xff1a;

集合&＃xff1a;具有某种特定性质的对象全体&＃xff1b;比如自然数集 $\mathbb{N}$ 、有理数集 $\mathbb{Q}$ 、实数集 $\mathbb{R}$ &＃xff1b;
元素&＃xff1a;集合内的每个对象&＃xff1b;
集合与元素的关系&＃xff1a; $x\in A$ &＃xff1b; $x\notin A$ &＃xff1b;
集合的一般表示形式举例&＃xff1a; $A&＃61;\left \{ 1,2,3 \right \}$ &＃xff1b; $A&＃61;\left \{ x\mid x<6, x\in N \right \}$ 或 $\left \{ x\in N\mid x<6 \right \}$ &＃xff1b;
集合间的关系&＃xff1a; $A\subset B$ 或 $A\subseteq B$ &＃xff08; $A$ 是 $B$ 的子集&＃xff09;&＃xff1b; $A$ 是 $B$ 的真子集&＃xff1b; $A&＃61;B$ &＃xff08;相等&＃xff09;&＃xff1b; $C&＃61;A\cup B$ &＃xff08;并集&＃xff09;&＃xff1b; $C&＃61;A\cap B$ &＃xff08;交集&＃xff09;&＃xff1b; $C&＃61;A-B$ &＃xff08;或 $C&＃61;A\setminus B$ &＃xff09;&＃xff08;差集&＃xff09;&＃xff1b;当 $A\subset B$ 时&＃xff0c; $A-B&＃61;\complement_AB$ &＃xff08;余集/补集&＃xff09;&＃xff08;其中若限定固定集合 $A$ 讨论子集&＃xff0c; $\complement_AB$ 记作 $\complement B$ 或 $B^{C}$ &＃xff09;&＃xff1b; $\left ( A-B \right )\cup \left ( B-A \right )&＃61;A\bigtriangleup B$ &＃xff08;对称差&＃xff09;&＃xff1b;

2、集合的运算&＃xff1a;

集合族 $\left \{ A_{\alpha } \right \}_{\alpha \in I}$ &＃xff1a;多个集合的整体构成的集合&＃xff1b;
集合族的交集与并集&＃xff1a; $\bigcup_{\alpha \in I}^{}A_{\alpha }&＃61;\left \{ x\mid \exists \alpha \in I,x\in A_{\alpha } \right \}$ &＃xff1b; $\bigcap_{\alpha \in I}^{}A_{\alpha }&＃61;\left \{ x\mid \forall \alpha \in I,x\in A_{\alpha } \right \}$ &＃xff1b;
集合交并集具有交换律、结合律以及分配律&＃xff1a; $A\cup B&＃61;B\cup A$ &＃xff1b; $A\cap B&＃61;B\cap A$ &＃xff1b; $A\cup \left ( B\cup C \right )&＃61;\left ( A\cup B \right )\cup C$ &＃xff1b; $A\cap \left ( B\cap C \right )&＃61;\left ( A\cap B \right )\cap C$ &＃xff1b; $A\cap \left ( B\cup C \right )&＃61;\left ( A\cap B \right )\cup \left ( A\cap C \right )$ &＃xff1b; $A\cup \left ( B\cap C \right )&＃61;\left ( A\cup B \right )\cap \left ( A\cup C \right )$ &＃xff1b;&＃xff08;其中分配律可以扩展到集合族的形式 $A\cap \left ( \bigcup_{\alpha \in I}^{} B_{\alpha }\right )&＃61; \bigcup_{\alpha \in I}^{} \left ( A\cap B_{\alpha } \right )$ &＃xff1b; $A\cup \left ( \bigcap_{\alpha \in I}^{} B_{\alpha }\right )&＃61; \bigcap_{\alpha \in I}^{} \left ( A\cup B_{\alpha } \right )$ &＃xff09;&＃xff1b;
德·摩根&＃xff08;De. Morgan&＃xff09;法则&＃xff1a; $S-\left ( \bigcup_{\alpha \in I}^{}A_{\alpha } \right )&＃61;\bigcap_{\alpha \in I}^{}\left ( S-A_{\alpha } \right )$ &＃xff1b; $S-\left ( \bigcap_{\alpha \in I}^{}A_{\alpha } \right )&＃61;\bigcup_{\alpha \in I}^{}\left ( S-A_{\alpha } \right )$ &＃xff1b;

3、集合列及其上下限集&＃xff1a;

集合列 $\left \{ A_{k} \right \}$ &＃xff1a;与函数列类似&＃xff0c;集合列就是将集合视为元素的数列&＃xff1b;集合列的极限集记为 $\lim_{k\rightarrow \infty }A_{k}$ &＃xff1b;
递减集合列&＃xff1a;满足 $A_{1}\supset A_{2}\supset \cdots A_{k}\supset \cdots$ 的集合列&＃xff1b;此时 $\bigcap_{k&＃61;1}^{\infty }A_{k}$ 为 $\left \{ A_{k} \right \}$ 的极限集&＃xff1b;
递增集合列&＃xff1a;满足 $A_{1}\subset A_{2}\subset \cdots A_{k}\subset \cdots$ 的集合列&＃xff1b;此时 $\bigcup_{k&＃61;1}^{\infty }A_{k}$ 为 $\left \{ A_{k} \right \}$ 的极限集&＃xff1b;
上限集 $\varlimsup_{k \to \infty}A_{k}&＃61;\lim_{k \to \infty}\sup A_{k}&＃61;\left \{ x\mid \forall j\in \mathbb{N},\exists k\geq j,x\in A_{k} \right \}$ &＃xff1a;集合列的最大极限集合&＃xff0c; $\varlimsup_{k \to \infty}A_{k}$ 中的任意元素均在 $A_{l_{1}},A_{l_{2}},\cdots A_{l_{k}},\cdots$ &＃xff08;无穷多个 $A_{k}$ &＃xff09;内&＃xff0c;集合写法为 $\bigcap_{n&＃61;1}^{\infty }\bigcup_{m&＃61;n}^{\infty }A_{m}$ &＃xff0c;指的是 $\left (\bigcup_{m&＃61;1}^{\infty } A_{m} \right )\bigcap \left (\bigcup_{m&＃61;2}^{\infty } A_{m} \right )\bigcap \cdots \left (\bigcup_{m&＃61;k}^{\infty } A_{m} \right )\bigcap \cdots$ &＃xff1b;
下限集 $\varliminf_{k \to \infty}A_{k}&＃61;\lim_{k \to \infty}\inf A_{k}&＃61;\left \{ x\mid \exists j_{0}\in \mathbb{N},\forall k\geq j_{0},x\in A_{k} \right \}$ &＃xff1a;集合列的最小极限集合&＃xff0c; $\varliminf_{k \to \infty}A_{k}$ 中只有有限个 $k$ 使得元素不在 $A_{k}$ 内&＃xff0c;集合写法为 $\bigcup_{n&＃61;1}^{\infty }\bigcap_{m&＃61;n}^{\infty }A_{m}$ &＃xff0c;指的是 $\left (\bigcap_{m&＃61;1}^{\infty } A_{m} \right )\bigcup \left (\bigcap_{m&＃61;2}^{\infty } A_{m} \right )\bigcup \cdots \left (\bigcap_{m&＃61;k}^{\infty } A_{m} \right )\bigcup \cdots$ &＃xff1b;
上下限集相等 $\varlimsup_{k \to \infty}A_{k}&＃61;\varliminf_{k \to \infty}A_{k}$ &＃xff0c;则集合列的极限集存在&＃xff0c;且 $\lim_{k \to \infty}A_{k}&＃61;\varlimsup_{k \to \infty}A_{k}&＃61;\varliminf_{k \to \infty}A_{k}$ &＃xff1b;
递增集合列满足 $\varlimsup_{k \to \infty}A_{k}&＃61;\bigcup_{k&＃61;1}^{\infty }A_{k}$ &＃xff1b;递减集合列满足 $\varliminf_{k \to \infty}A_{k}&＃61;\bigcap_{k&＃61;1}^{\infty }A_{k}$ &＃xff1b;

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梁lxc_131

这个家伙很懒，什么也没留下！

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