骨骼动画公式

本节你将回顾一些骨骼动画用到的概念和数学公式。一个骨骼动画是由许多关键帧组成的，每个关键帧存储了一个bone的配置（朝向和位置）和bone对应的时间。在每个时间间隔，你使用一个或多个关键帧改变bone的配置。

图11－7展示了一张如图11－3中的骨骼的动画，当Left Shoulder bone的朝向变动时也会影响到其他bone。

图11－7 图11－3中骨骼的Left Shoulder bone动画

注意所有的后代（descendant）bone的配置都改变了。

要实现如图11－7的结果，只需对Left Shoulder bone存储一个关键帧动画。虽然所有的 Left Shoulder children的配置都改变了，它们与Left Shoulder的关系还是不变的。换句话说，你不需要存储Left Shoulder children的新配置，因为你是基于新Left Shoulder配置计算children的配置的。这样，当你需要更新模型时，你需要计算每个bone的绝对配置，然后使用这些bone变换顶点。接下来我们会学习一些变换顶点用到的公式，你将使用这些公式更新并绘制模型。为了更好的利用GPU，你将在动画模型effect中实现这些公式。

变换顶点

模型的每个顶点包含了哪个bone影响它的位置和bone作用在顶点上的影响的信息。你可以计算顶点的最后位置，而这个位置只被一个bone影响，下面是公式：

P_F＝P₀′[Bone•W]

在这个公式中，P_F是顶点的最后位置，P₀′是顶点的初始位置，Bone是包含影响顶点的bone的绝对配置的矩阵，W是影响的权重。因为顶点只被一个bone影响，所以这个权重是1（即100％）。这个公式显示了如何计算顶点的最后位置：用包含bone的绝对配置的矩阵变换顶点的初始位置。

顶点的初始位置必须和bone使用相同的坐标系统，这个坐标包含在bind pose中。当顶点连接到bone时，所有的bone是在bind pose位置中找到的，而且所有的bone动画是应用到骨骼的初始bind pose的。你可以通过将顶点位置乘以反bone矩阵将顶点的初始位置转换到bone的bind pose坐标系统中，由以下公式决定：

P₀′＝P₀[Bone^-1_BindPose]

在这个公式中，P₀′是顶点在bind pose坐标中的初始位置，P0是顶点在模型空间中的初始位置，而Bone^-1_BindPose是bone绝对配置的反矩阵。要将顶点坐标转换到bone坐标系统，你只需将顶点坐标乘以bone的反矩阵。使用这两个公式，你可以让所有的顶点都动起来。

组合bone变换

第一个公式不允许一个以上的bone影响一个顶点，但在很多情况中往往是几个bone共同影响一个顶点。要计算几个bone共同影响一个顶点的最终位置，你需要计算施加影响的每个bone的顶点位置。然后你就能通过对顶点最终位置求和计算最终位置。下面的公式表示有几个bone共同影响一个顶点的计算公式：

注意用来变换顶点的权重的和必须是1。最后，下面的公式表示变换顶点的完整方程：

注意在前面的方程中你首先计算矩阵的和，然后一次性的变换顶点。

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