寻找满足特定条件的整数N的最大和(a+b)

问题描述：给定一个正整数 N，我们需要找到两个不同的整数 a 和 b（1 ≤ a, b ≤ N），使得它们的和 (a + b) 最大，并且 a * b 能被 (a + b) 整除。

示例:

输入: N = 10
输出: 9
解释: 当 a = 3 和 b = 6 时，a + b = 9，并且 3 * 6 = 18 可以被 9 整除。

输入: N = 20
输出: 27

简单方法: 简单的方法是使用嵌套循环遍历所有可能的 (a, b) 对。具体步骤如下：

1. 初始化最大和为 0。
2. 遍历从 1 到 N 的每个整数 a，再遍历从 a+1 到 N 的每个整数 b。
3. 检查 a * b 是否能被 (a + b) 整除。
4. 如果条件满足，更新最大和。
5. 最后返回最大和。

以下是该方法的 C++ 实现：

// C++ implementation to find the largest sum of a + b
#include 
using namespace std;

int getLargestSum(int N) {
    int max_sum = 0;
    for (int i = 1; i <= N; i++) {
        for (int j = i + 1; j <= N; j++) {
            if (i * j % (i + j) == 0)
                max_sum = max(max_sum, i + j);
        }
    }
    return max_sum;
}

int main() {
    int N = 25;
    cout <    return 0;
}

优化方法: 观察到如果两个数 a 和 b 满足条件，则它们不是互质的。因此，可以利用这个特性来优化算法。具体步骤如下：

1. 初始化最大和为 0。
2. 遍历从 1 到 sqrt(N) 的每个整数 i 和 j，其中 j > i。
3. 计算 k = N / j，并设置 a = k * i 和 b = k * j。
4. 检查 a * b 是否能被 (a + b) 整除。
5. 如果条件满足，更新最大和。
6. 最后返回最大和。

以下是优化方法的 C++ 实现：

// Optimized C++ implementation
#include 
using namespace std;

int getLargestSum(int N) {
    int max_sum = 0;
    for (int i = 1; i * i <= N; i++) {
        for (int j = i + 1; j * j <= N; j++) {
            int k = N / j;
            int a = k * i;
            int b = k * j;
            if (a <= N && b <= N && a * b % (a + b) == 0)
                max_sum = max(max_sum, a + b);
        }
    }
    return max_sum;
}

int main() {
    int N = 25;
    cout <    return 0;
}

时间复杂度: 优化后的算法时间复杂度为 O(N)，因为每个循环最多运行 sqrt(N) 次。

辅助空间: O(1)