偏微分方程数值解法pdf_从常微分方程到偏微分方程（一）

原出处&＃xff1a;公众号&＃xff1a;数学经纬网

原作者&＃xff1a;星火

原链接&＃xff1a;

方程对于学过中学数学的人来说&＃xff0c;是比较熟悉的。在初等数学中就有各种各样的方程&＃xff0c;比如&＃xff0c;有线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是把要研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来&＃xff0c;列出包含某个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式&＃xff0c;然后去求方程的解。

微分方程的路径

在实际工作中&＃xff0c;常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如:

物质在一定条件下运动变化&＃xff0c;要寻求它的运动、变化的规律&＃xff1b;

某个物体在重力作用下自由下落&＃xff0c;要寻求下落距离随时间变化的规律&＃xff1b;

火箭在发动机推动下在空间飞行&＃xff0c;要寻求它飞行的轨道(在空间中的一条曲线)&＃xff0c;等等。

物质运动和它的变化规律在教学上是用函数关系来描述的&＃xff0c;因此&＃xff0c;这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知的函数。也就是说&＃xff0c;凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值&＃xff0c;而是要求一个或者几个未知的函数。

解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似&＃xff0c;也是要把所研究的问题中巳知函数和未知函数之间的关系找出来&＃xff0c;从列出包含未知函数的一个或者几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面&＃xff0c;都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。

在数学上&＃xff0c;解这类方程&＃xff0c;还要用到微分和导数的知识&＃xff0c;因此&＃xff0c;凡是表示未知函数和未知函数的导教以及自变量之间的关系的方程&＃xff0c;叫做微分方程。

微分方程差不多是和微积分同时先后产生的&＃xff0c;苏格兰数学家耐普尔(1550-1617)创立对数的时候&＃xff0c;就已求出微分方程d(a-y)/dt&＃61;y的近似解了。牛顿也在建立微积分学的同时&＃xff0c;对最简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅科布。贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛(1713-1765)、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。

牛顿研究天体力学和机械力学的时候&＃xff0c;利用了微分方程这个工具。正是他研究天体运动的微分方程&＃xff0c;从理论上得到行星运动规律。后米&＃xff0c;法国天文学家勒维烈(1811-1877)和英国天文学家亚当斯(1819-1892)使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家愈益深信微分方程在认识自然改造自然方面的巨大力量。

微分方程的理论逐步完善的时候&＃xff0c;利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律&＃xff0c;只要列出相应的微分方程&＃xff0c;有了解(数值地或者定性地)方程的方法&＃xff0c;就可以把这种或那种运动应该如何处置提供了办法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支之一。

什么是偏微分方程&＃xff1f;

前面已经讲述了什么是微分方程&＃xff0c;大家也已经知道&＃xff0c;如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量&＃xff0c;这个方程叫做常微分方程&＃xff0c;也简称微分方程。这里要介绍的是&＃xff0c;如果在一个微分方程中出现有多元函数的偏导数;或者说如果未知函数和几个变量有关&＃xff0c;而且方程中出现未知函数对几个变量的导数&＃xff0c;那么这种微分方程叫做什么呢&＃xff1f;这就叫做偏微分方程。

在科学技术日新月异地发展的过程中&＃xff0c;人们研究的许多问题用一个变量的函数来描述已经显得不够了&＃xff0c;不少问题要用多个变量的函数来描述。比如&＃xff0c;从物理角度来说&＃xff0c;物理量有不同的性质&＃xff0c;温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量&＃xff1b;速度、电场的引力等&＃xff0c;不仅在数值上有所不同&＃xff0c;而且还具有方向&＃xff0c;这些量叫做向量&＃xff1b;物体在一点的张力状态的描述出的量叫做张量&＃xff0c;等等。这些最不仅和时间t有关系&＃xff0c;而且和空间坐标x、y、z也有联系&＃xff0c;这就要用多个变量的的函数来表示。

应该指出&＃xff0c;对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数来表示&＃xff0c;只能是理想化的&＃xff0c;如介质的密度&＃xff0c;实际上“在一点”的密度是不存在的。而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限&＃xff0c;这就是理想化的。介质的温度也是这样。这样就产生了研究某些物理现象的理想的多个变量的函数方程&＃xff0c;这种方程就是偏微分方程。

偏微分方程这门学科产生于十八世纪&＃xff0c;欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程&＃xff0c;随后不久&＃xff0c;法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年&＃xff0c;达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中&＃xff0c;提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。

后来&＃xff0c;和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利(1700-1782)也研究了数学物理方面的问题&＃xff0c;提出了解弹性系振动问题的一般方法&＃xff0c;对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程&＃xff0c;丰富了这门学科的内容。

偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪&＃xff0c;那时候&＃xff0c;数学物理问题的研究繁荣起来&＃xff0c;许多数学家都对数学物理问题的解决作出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶(1768一1830)&＃xff0c;他年轻的时候就是一个出色的数学学者&＃xff0c;他在从事热流动的研究中&＃xff0c;写出了《热的解析理论》&＃xff0c;在文章中他提出了三维空间的热方程&＃xff0c;也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。