模型不等比缩放后法线不再垂直表面的问题

如果模型矩阵执行了不等比缩放&＃xff0c;顶点的改变会导致法向量不再垂直于表面了。因此&＃xff0c;我们不能用这样的模型矩阵来变换法向量。下面的图展示了应用了不等比缩放的模型矩阵对法向量的影响&＃xff1a;

每当我们应用一个不等比缩放时&＃xff08;注意&＃xff1a;等比缩放不会破坏法线&＃xff0c;因为法线的方向没被改变&＃xff0c;仅仅改变了法线的长度&＃xff0c;而这很容易通过标准化来修复&＃xff09;&＃xff0c;法向量就不会再垂直于对应的表面了&＃xff0c;这样光照就会被破坏。

修复这个行为的诀窍是使用一个为法向量专门定制的模型矩阵。这个矩阵称之为法线矩阵(Normal Matrix)&＃xff0c;它使用了一些线性代数的操作来移除对法向量错误缩放的影响。

法线矩阵被定义为「模型矩阵左上角的逆矩阵的转置矩阵」。

具体推导过程为&＃xff1a;

vertexEyeSpace &＃61; modelViewMatrix * vertex&＃xff1b;

modelEyeSpace &＃61; modelViewMatrix * vec4(normal, 0);

已知线段T &＃61; p2-p1&＃xff1b;&＃xff08;P2和P1是两个顶点的位置&＃xff09;

T&＃39; &＃61; T * modelViewMatrix &＃61; (p2 - p1) * modelview;

&＃61; p2 * modelview - p1 * modelview;

也就是说相当于p‘2 - p&＃39;1

假设&＃xff1a;

N &＃61; Q2-Q1;

因为线段和法线的点乘必须要为0

dot(T,N) &＃61; 0;

所以转换后的线段和法线的点乘也必须为0才是我们想要的

dot(T&＃39;,N&＃39;) &＃61; 0;

假设视图左上角的子矩阵为M

然后假设矩阵G是变换法向量的正确矩阵

得&＃xff1a;

dot(G*N, M*T) &＃61; 0;

根据点乘公式得出dot(t,n)&＃61;|t|*|n|*cosα。

得&＃xff1a;

dot(T&＃39;, N&＃39;) &＃61; dot(G*N, M*T) &＃61; inverse(GN) * MT&＃xff1b;

已知矩阵GN和GN的逆矩阵的乘积为单元矩阵。

inverse(GN)*GN &＃61; I

同时正交矩阵的transpose(GN)*GN &＃61; I

两边都乘以转换矩阵时

transpose(GN)*inverse(GN) * GN &＃61; inverse(GN)

得

transpose(GN) &＃61; inverse(GN)

所以

dot(T&＃39;, N&＃39;) &＃61; transpose(GN) * MT;

拆解后得&＃xff1a;

dot(T&＃39;, N&＃39;) &＃61; transpose(G) * transpose(N) * M*T;

假设transpose(G) * M &＃61; I时

dot(N&＃39;, T&＃39;) &＃61; dot(N, T) &＃61; 0;

所以得出我们要求的

G &＃61; transpose(inverse(M))

这就是“模型矩阵左上角的逆矩阵的转置矩阵”的整体推导过程。

另外&＃xff1a;法向量只是一个方向向量&＃xff0c;不能表达空间中的特定位置。同时&＃xff0c;法向量没有齐次坐标&＃xff08;顶点位置中的w分量&＃xff09;。这意味着&＃xff0c;位移不应该影响到法向量。因此&＃xff0c;如果我们打算把法向量乘以一个模型矩阵&＃xff0c;我们就要从矩阵中移除位移部分&＃xff0c;只选用模型矩阵左上角3×3的矩阵&＃xff08;注意&＃xff0c;我们也可以把法向量的w分量设置为0&＃xff0c;再乘以4×4矩阵&＃xff1b;这同样可以移除位移&＃xff09;。对于法向量&＃xff0c;我们只希望对它实施缩放和旋转变换。

最终的做法是&＃xff1a;

Normal &＃61; mat3(transpose(inverse(model))) * aNormal;