线性代数中的一点理解和感悟

看完各路大神相关的东西，写下自己的一点理解和总结。

1.先说线性的概念，何为线性，数学里，一般说的线性指的是线性映射，这个映射要同时满足两个条件：

1）可加性：f(x+y)=f(x)+f(y)

2)   齐次性：f(ax)= af(x)

任何一条不满足，就不能叫做线性。

2.再说线性空间，线性空间就是一个包含若干向量的空间，而且根据线性空间的定义（），它还应该满足以下条件：

1）任意取一个向量来伸缩，得到的新的向量还是在这个空间里面（齐次性）。

2）或者任意取两个向量来求和，得到的新的向量还是在这个空间里面（可加性）。

3.基、维、向量、线性变换等

下面图片中是我们常看到书上对基和维的定义：

*线性无关即不存在任意一个向量可以由其他向量线性表示。

所以线性空间中的任何一个对象，通过选取基和坐标的办法，都可以表达为向量的形式。这里的对象可以看做或者理解成线性空间中的一个点，比如我们常见的二维或者三维空间中的任意一点的坐标（x,y）、(x,y,z)，都可以写作向量的形式（x,y）T,(x,y,z)T。

线性空间中的运动，被称为线性变换。也就是说，你从线性空间中的一个点运动到任意的另外一个点，都可以通过一个线性变化来完成。而对于向量，线性变换可以实现向量的旋转和缩放。那么，线性变换如何表示呢？很有意思，在线性空间中，当你选定一组基之后，不仅可以用一个向量来描述空间中的任何一个对象，而且可以用矩阵来描述该空间中的任何一个运动（变换）。而使某个对象发生对应运动的方法，就是用代表那个运动的矩阵，乘以代表那个对象的向量。（选自孟岩的理解矩阵）

4.两个向量相乘代表了什么？

其实应该表达为一个向量的转置乘以另一个向量：aTb。根据高中知识我们知道两个向量（高中数学中所说的向量）的点乘，等于两个向量的模的积在乘以两个向量之间夹角的cos值，其实在几何中即表示为一个向量在另一个向量上的投影再乘以该向量的模，这里若该向量为单位向量，那么两个向量的点乘即表示为一个向量在单位向量上的投影，也即。这里高中两个向量的点乘和线性代数中一个向量的转置乘以另一个向量，其实本身所做的操作的都是一样的，都是各元素对应相乘再求和。所以这也就是很多应用中（如线性判别分析LDA）,表示n维中间中的样本点（可表示为向量x）在某条直线上（可表示为向量w）的投影为wTx.。