【科技】浅谈圆的反演

一时兴起，就有了这篇博客。本人也学识浅薄，姑且讲一下我对于圆反演的一些皮毛之见。

首先我们要明白反演是什么：

反演是一种基本的几何变换。给定一个平面上的一个反演中心$O$和一个常数$k$，对于任意一个点$A(A \neq O)$，我们可以找到一个在直线$OA$上的点$A'$，使得线段$OA,OA'$的有向长度的乘积为$k$，那$A'$就是$A$关于$O$的反演点，可以证明这样的$A'$是唯一的。我们称$A->A'$的这种变换为反演，我们也可以把它看成一种映射，而且是双射。

点有关于圆的反演：

给定一个平面上的一个圆，其圆心为$O$，半径为$r_0$，对于任意一个点$A(A \neq O)$，我们同样可以找到一个在直线$OA$上的点$A'$，使得线段$OA, OA'$的有向长度之积为常数${r_0}^2$，那$A'$就是$A$关于圆$O$的反演点，同样这样的$A'$是唯一的。

接下来我们讨论的问题都将围绕一个反演中心展开，所以我们用反演变换$f$来表示关于圆$O$的反演，这里我们有$f(A) = A'$。

直线关于圆的反演：

直线$A$关于圆$O$的反演$A'$就是$\{ f(P) | P \in A \}$，通俗地讲就是把直线上的点都做反演后点的集合，很明显这也是一个双射。

我们首先说一下结论：

1. 当直线$A$过点$O$时，$A' = A$。
2. 当直线$A$不过点$O$时，$A'$是一个圆，且$A'$始终过点$O$。当$A$与圆$O$相交时，$A'$与圆$O$相交；当$A$与圆$O$相切时，$A'$内切与圆$O$；当$A$与圆$O$相离时，$A'$内含与圆$O$。

第一句话比较简单，不做累述，接下来主要证明第二句话，并会给出$A'$的具体的位置。（不会画图，大家自己脑补）

方便起见，我们假设圆$O$是一个单位圆（这个并没有关系，图是可以缩放的），直线$A$为$x = a(a \neq 0)$。

设$A$上任意一个的点$P(a, y_1)$，$dis(P, O) = \sqrt{ a^2 + {y_1}^2 }$，由相似得$P' = f(P) = ( \frac{a}{a^2 + {y_1}^2} , \frac{y_1}{a^2 + {y_1}^2} )$。

这里点$P'$的轨迹中只有$y_1$一个变量。我们要证明$P'$的轨迹是一个圆，即我们想要得到$P'(x,y)$中$x,y$的关系式。

根据$P'$的坐标有：$(1) x = \frac{a}{a^2 + {y_1}^2}  \qquad (2) y_1 x = a y $

联立$(1)(2)$消掉$y_1$后即可得：$ x^2 - \frac{1}{a}x + y^2 = 0 $

可以写成圆的标准方程：$ (x - \frac{1}{2a})^2 + y^2 = (\frac{1}{2a})^2 $

 所以可以知道$A'$的圆心位于$(\frac{1}{2a}, 0)$，半径为$\frac{1}{2a}$，所以说$A'$始终过点$O$。很容易看出，当$a = 1$时，直线$A$与圆$O$相切，此时圆$A'$也内切与圆$O$；其他两种情况也可以得到证明。

圆有关于圆的反演：

圆$A$关于圆$O$的反演也定义为$\{ f(P) | P \in A \}$。

我们先阐明结论：

1. 当圆$A$过点$O$时，$A'$会退化成一条直线，可以看做上一部分直线关于圆的反演的逆变换。
2. 当圆$A$不过点$O$时，$A'$是一个圆。当$A$与圆$O$相交时，$A'$也与圆$O$相交；当$A$与圆$O$外（内）切时，$A'$与圆$O$内（外）切；当$A$与圆$O$相离（内含）时，$A'$与圆$O$内含（相离）。

第一句话我们已经讨论过了就不做累述。我们仿照上一部分，对此第二句话进行简要证明。

同样假设圆$O$是一个单位圆，圆$A$的圆心在$(a, 0)$，半径是$r(r \neq a)$。

设$A$上的任意一点$P(x_1, y_1)$，故有方程：$(1) (x_1 - a)^2 + {y_1}^2 = r^2 $

同样可以得到$P' = f(P) = (\frac{x_1}{ {x_1}^2 + {y_1}^2 }, \frac{y_1}{ {x_1}^2 + {y_1}^2 } )$

根据$P'$坐标得到方程：$ (2) x = \frac{x_1}{ {x_1}^2 + {y_1}^2 } \qquad (3) y_1 x = x_1 x $

联立方程$(1)(2)(3)$消去$x_1,y_1$可以得到一个圆的标准方程：$(x + \frac{a}{r^2 - a^2})^2 + y^2 = (\frac{r}{r^2 - a^2})^2$

显然$A'$是一个圆，圆心和半径都能知道了。读者们可以自行验证是否满足结论中第二句话所述的三种情况。

圆反演的性质与应用：

有几个需要知道的事实：

1. 两对不共线的互反点四点共圆。（证明可以先得到相似，再得到对角互补）
2. 两个外切的圆在分别反演后仍外切（如果切点恰好是反演中心，则反演后为两平行线），对于内切、相交、相离、内含的情况也是一样。这个同样适用于圆和直线的关系上。（因为原有的交点在反演后仍是交点，由于反演是可逆的，不会产生额外的交点）

关于圆的反演变换是几何中一个常用技巧，其通常可以把圆上的问题转化成直线上的问题，在多圆问题中尤显其强大之处。

$\star$ 一道例题。给定两个圆$A,B$和一个不在$A,B$上的点$P$，求出所有过点$P$的圆，满足与$A,B$分别相切。

直接做好像没什么办法，我们考虑利用反演变换。以$P$为圆心任意半径做一个圆，然后分别做出$A,B$关于圆$P$的反演$A',B'$，可以得到$A',B'$的公切线，把公切线反演回去就是所求的圆。做法很简单，原因也很简单，由于要求的是过点$P$的圆，相当于是要求反演后的一条直线，并且这条直线要与反演后的$A,B$相切。

参考资料：

• 知乎zdr0的专栏  https://zhuanlan.zhihu.com/p/55834403