良序集的一节

良序集$A$&＃xff0c;以$\prec$为顺序.$a\in A$,集合$A&＃39;&＃61;\{x:x\in A,x\prec a\}$称为$A$的一节.(易得当$a$是最小元时&＃xff0c;$A&＃39;&＃61;\emptyset$)

 

 

定理&＃xff1a;良序集$A$与其任何一节绝不序同构.

 

证明&＃xff1a;假若$A$与其一节$A&＃39;$存在序同构.即存在$f:A\to f(A)&＃61;A&＃39;$,使得$\forall x,y\in A,x$$f(\{x\in A:x\prec k\})&＃61;\{x\in A:x\prec k\}$$
则容易推出$$f(\{x\in A:x\preceq k\})&＃61;\{x\in A:x\preceq k\}$$
根据强数学归纳法&＃xff0c;我们有$$f(A&＃39;)&＃61;A&＃39;$$然而我们有$$f(A)&＃61;A&＃39;$$这表明$f$不是双射.矛盾.