使用粒子群优化算法（PSO）解决旅行商问题（TSP）

       PSO(粒子群算法)是群智能算法的一种，其他的群智能算法还有蚁群算法，遗传算法等。其他的智能算法还有模拟退火。之前看过一段时间的PSO，商务智能课程最后的大作业便想用一下，刚好在github上看到有人用模拟退火解决TSP问题，而且效果不错，于是便萌生了利用PSO求解TSP问题的想法。

       TSP问题想必大家再熟悉不过了，它是一个NP-hard问题，难以用暴力枚举的算法进行计算。针对NP-hard问题，有许多方法可以求得其近似解，而且效果不错，进化计算算法和群智能算法便是其中之一。

       之前也在博客上看过其他人用PSO求解TSP问题，主要有一下几个问题 ：

1.  TSP问题的规模相对较小
2.  对于规模较大的问题，结果并不算太好。

       一般而言，如果不考虑对TSP问题的额外的处理方式，直接用PSO算法，对于一些规模较小的问题（节点数量一般不超过20），PSO算法的效果还行，但是，当问题的规模变得比较大时（50及以上），PSO算法就无能为力。一个重要的原因在于当节点数量增加时，问题的复杂度会变得很大，PSO算法会陷入局部最优，而且这个局部最优往往离最优解很远。这个时候，有两种选择，一是改进PSO算法本身，这个基本很难，我尝试过，效果并不太好，PSO算法的模式基本都是固定的，如果只改变速度中的权重或是简单的调参，收效甚微；二是改变对TSP问题的编码以及粒子速度与位置的定义，使问题本身相对更加容易处理。我用的是第二种方法。

    1.粒子的定义

       1.位置

           对于TSP问题，我们一般将粒子的位置定义为一个位置点的序列。比如{1，2，3，4，5}，它表示的是一条路径，即1->2, 2->3, 3->4, 4->5, 5->1(我选的TSP问题是一个环路，所以最后的路径会成环)，路径的长度可以计算每一条边的长度并求和得到，边的距离是两点之间的欧氏距离（问题中的点都是二维的）。

       2.速度

           TSP问题中粒子的速度是粒子在当前解空间的运动速度，一般是与粒子当前位置和粒子群体的历史最好位置的差成正比（有时还要考虑粒子当前位置与粒子的历史最好位置的差）。

           在此问题中，粒子的速度被定义为一个二元组合，表示当前路径（即粒子的位置）的一个交换操作。比如（2，3），表示对当前粒子位置中节点2和3进行一次交换操作。粒子的速度可以与位置进行求和，例如，{1，2，3，4，5}+{（2，3）}={1，3，2，4，5}。{（1，2）}和{（2，1）}是两个相同的速度，交换不会考虑粒子的先后顺序。速度的长度定义为元组的个数。

      3.运算规则

           a. 位置-位置=速度

               位置相减会得到一个速度，即一个元组序列。例如，{1，2，3，4，5}-{1，2，4，3，5}={（3，4）}，我们可以这样看，两个速度的差别在于3，4两个节点的位置不同，只需将第二个速度进行一次节点的交换便可得到第一个速度。

           b. 速度+速度=速度

               两个速度相加会得到一个新的速度。比如{（1，2）}+{（3，4）}={（1，2），（3，4）}。如果有重复的元组，则会去掉相应的重复项（因为两个相同的交换操作会相互抵消）。{（1，2）}+{（2，1）}={（1，2）}。

           c. 速度*常数=速度

             速度乘以常数会得到一个速度，只不过这个速度的长度和新的速度长度不同。

              speed_1*c=speed_2, 则{length(speed_1)*c]=length(speed_2), 左边是向下取整。例如，{（1，2），（4，5）}*0.5={（1，2）}。

           d. 位置+速度=位置

               位置和速度相加会得到一个新的位置。比如，{1，2，3，4，5}+{（1，2）}={2，1，3，4，5}。按照速度中的元组对位置进行相应变换即可。

           e.滑动运算

             滑动操作是对粒子的位置进行操作。假定速度X={x1,x2,x3,...xm}, SL(X,k)={x(1+k)%m, x(2+k)%m,....,x(m+k)%m}。这里定义这个运算的原因在于粒子速度的等价性。比如，{1，2，3，4，5}与{5，4，3，2，1}，它们是两个相同的速度，但是表示不同，如果直接对其做差，相当于做了一次冒泡排序，但是事实上他们的差值应该为0。所以，我们在对速度进行做差时，会用速度的n-1个等义（相当于n-1次滑动运算的结果）表示进行做差，取其中长度最小的速度作为最后的结果。

           f.交叉消除

             这个运算可以说是这个问题的核心。我在用一般的PSO算法进行求解的时候，发现了一个问题，就是结果中的路径会有大量的交叉。

             如上图所示，而且我在博客上看很多人利用PSO算法求解TSP问题的时候也有同样的问题。这是一个很重要的原因，因为大多数的解空间都会有大量的不好的解，这些不好的解的原因在于它们存在大量的边的交叉。于是，我们定义了消除交叉的操作。具体请看下图

          这个算法不是简单的将两条边进行交换就完事了，我尝试过这种操作，效果很不好。它会将后面的边也进行交换。只改变了交叉的边的那一部分，对后面的操作没有影响。

          最后的结果如下图：

          可以看到，与之前相比好了很多，而且与最优解非常接近，除了一些小的瑕疵。

          下面是我参考的一些资料。

          1.测试数据

          2.参考论文