时间序列分析入门：平稳性与白噪声检验

为什么需要学习时间序列分析？

时间序列分析能够帮助我们理解数据随时间的变化规律，预测未来趋势，从而做出更加科学的决策。例如，通过对北京市1949年至1998年的最高气温数据进行分析，我们可以了解气温变化的趋势，并对未来气温进行预测。

步骤一：绘制时序图

首先，我们需要绘制数据的时序图，这有助于直观地观察数据是否存在趋势或季节性变化。以北京市的最高气温为例，通过绘制时序图，我们可以初步判断数据的特性。

步骤二：进行平稳性检验

平稳性是时间序列分析的基础。平稳的时间序列意味着其统计特性（如均值和方差）不随时间变化。我们可以通过观察时序图或计算自相关系数来判断序列是否平稳。

自相关系数描述了序列中不同时间点数据之间的相关性。对于平稳序列，自相关系数会随着滞后阶数的增加而快速衰减至零。具体计算公式如下：

从下图可以看出，自相关系数迅速衰减到0，表明该序列具有平稳性。

步骤三：判断数据是否为白噪声

白噪声是指序列中的每个观测值都是独立同分布的随机变量，且均值为0，方差恒定。白噪声序列没有预测价值，因此在分析之前需要排除这种可能性。

在Mathematica中，可以使用AutocorrelationTest[]函数来检验数据是否为白噪声。该函数基于Bartlett定理，零假设是所有自相关系数均为0，备择假设是至少有一个自相关系数不为0。

如果拒绝零假设，则说明数据不是白噪声。函数返回的P值越小，表示数据不是随机的可能性越大。下图展示了不同滞后阶数下的P值：

从图中可以看出，P值较大，因此可以认为该数据可能是白噪声。