极限、可导和可微的关系及含义

本篇梳理三个概念：极限、可导、可微的关系梳理
上图
三者的关系

极限存在未必可导，可导则极限一定存在，极限存在是可导的必要不充分条件；可导一定可微，可微也一定可导，可微与可导互为充要条件将图中可导和可微的位置调换，极限存在未必可微，可微则极限一定存在，极限存在是可微的必要不充分条件；

三者含义

极限存在：f(x)在x的某种趋向下，函数值无限趋近于某一确定的值，这里注意几点：
- 函数的极限与自变量的趋势有关；
- 极限值是一个特定的值，若极限值为∞则极限不存在
- 极限值包括左极限和右极限
- 极限存在的冲要条件是左极限右极限存在且相等

理解了什么是极限存在，可导就相对好理解多了

可导：
- 导数表示的是函数的变化率，函数在一个点的导数表示的就是函数在一个点的变化率；
- 可导的冲要条件是极限值等于函数值，换句话说，左极限=右极限=函数值可微和可导是等价的
- 一个函数在一个点可导，和一个函数在一个点可微是等价的
-
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极限存在未必可导，可导则极限一定存在，极限存在是可导的必要不充分条件；可导一定可微，可微也一定可导，可微与可导互为充要条件将图中可导和可微的位置调换，极限存在未必可微，可微则极限一定存在，极限存在是可微的必要不充分条件；

三者含义

极限存在：f(x)在x的某种趋向下，函数值无限趋近于某一确定的值，这里注意几点：
- 函数的极限与自变量的趋势有关；
- 极限值是一个特定的值，若极限值为∞则极限不存在
- 极限值包括左极限和右极限
- 极限存在的冲要条件是左极限右极限存在且相等

理解了什么是极限存在，可导就相对好理解多了

可导：
- 导数表示的是函数的变化率，函数在一个点的导数表示的就是函数在一个点的变化率；
- 可导的冲要条件是极限值等于函数值，换句话说，左极限=右极限=函数值可微和可导是等价的
- 一个函数在一个点可导，和一个函数在一个点可微是等价的
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