机器学习中的主要距离度量方法

在机器学习与数据科学领域，不同类型的距离度量方法被广泛应用于模式识别、聚类分析等多个方面。本文将重点介绍几种常用的距离度量方法。

1. 欧几里得距离（Euclidean Distance）

欧几里得距离是最直观也是最常用的两点间距离计算方式，它实际上就是我们在中学时期所学习的直角三角形斜边长度的计算方法。对于二维空间中的任意两点P1(x1, y1) 和 P2(x2, y2)，它们之间的欧几里得距离可表示为：

这种距离度量适用于所有维度的空间，并且具有良好的几何直观性。

2. 切比雪夫距离（Chebyshev Distance）

切比雪夫距离也称为L∞范数，它是两个点之间各坐标差异绝对值的最大值。对于二维空间中的点A(x1, y1) 和 B(x2, y2)，其切比雪夫距离定义为：

对于n维空间中的向量a = (x1, x2, ..., xn) 和 b = (y1, y2, ..., yn)，切比雪夫距离则为：

该距离度量特别适合于网格布局或棋盘问题中的路径规划。

3. 马氏距离（Mahalanobis Distance）

马氏距离是一种考虑了各维度间相关性的距离度量方法，它通过协方差矩阵来调整不同特征的重要性。给定两个数据点x 和 y，它们之间的马氏距离可以表示为：

这里，S 是协方差矩阵，而μ 表示样本均值向量。当协方差矩阵为单位矩阵时，即各个维度相互独立且方差相同的情况下，马氏距离退化为欧几里得距离。相比欧几里得距离，马氏距离能够更好地反映数据的实际分布情况，因此在处理具有复杂相关结构的数据集时更为有效。