兩個集合之間的全體部分函數可以形成一個集合

设$X$和$Y$是集合&＃xff0c;定义一个从$X$到$Y$的部分函数$f:X^{&＃39;}\to Y^{&＃39;}$.其定义域$X^{&＃39;}$是$X$的一个子集&＃xff0c;其值域$Y^{&＃39;}$是$Y$的一个子集合.证明从$X$到$Y$的全体部分函数本身成为一个集合.

 

证&＃xff1a;$X$中的任意一个子集$X^{&＃39;}$.根据幂集公理,从$X^{&＃39;}$到$Y$的全体函数形成一个集合$A_{X^{&＃39;}}$.我们已经知道,$X$的所有子集也形成一个集合$S$&＃xff0c;根据替代公理,把$S$中的元素$X^{&＃39;}$用$A_{X^{&＃39;}}$代替.再利用并集公理,可知结论成立.