几何角度理解线性代数（2）:逆矩阵、列空间与零空间

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• 矩阵是操纵空间的神器&＃xff1b;
• 秩的定义是列空间的维数&＃xff0c;所谓的“满秩”指的是秩与列数相等。

首先看线性方程组的表示&＃xff1a;

对于线性方程组的几何直觉&＃xff0c;我们可以将其视作对x⃗\vec{x}x

寻找一种变换方式&＃xff0c;使得其在变换之后变成v⃗\vec{v}v

&＃xff0c;示意图如下&＃xff1a;

那么如何来找到这种变化&＃xff0c;我们通过判断行列式是是否为0&＃xff0c;这两种情况分别进行讨论。

行列式不为0时

首先看更为通用的行列式不为0的情况&＃xff0c;我们可以取到x⃗\vec{x}x

经过$A$变换后得到唯一的v⃗\vec{v}v

&＃xff0c;换句话说&＃xff0c;我们也可以通过追踪v⃗\vec{v}v

的逆向变换来得到x⃗\vec{x}x

&＃xff0c;这里我们引入矩阵的逆&＃xff1a;

行列式为0时

然而&＃xff0c;

满秩

满秩情况下的零向量&＃xff1a;

零向量一定在列空间中

在非满秩情况下&＃xff0c;会有一系列向量变换为零向量。

二维到三维

仍然是满秩的&＃xff0c;因为列空间的维数与输入空间的维数相等。

三维到二维

二维到一维