第九章KNN（K最近邻分类算法）

1、惰性学习法

        说到惰性学习法，就要提到急切学习法。

        急切学习法：给定训练集, 在接收待分类的新元祖（如检验元组）之前，就构造泛化（即分类）模型。如：决策树归纳、贝叶斯分类、基于规则的分类、后向传播分类、支持向量机和基于关联规则挖掘的分类等。

        惰性学习法（也称为基于实例的学习法）：给定一个训练元组，简单地存储它 (或只是稍加处理) ，一直等到给定一个检验元组。仅当看到检验元组时，它才进行泛化，以便根据存储的训练元组的相似性对该元组进行分类。

        优点：原理简单，实现起来比较方便。支持增量学习。能对超多边形的复杂决策空间建模。

        缺点：计算开销大，需要有效的存储技术和并行硬件的支撑。

        K近邻算法就是惰性学习法的例子。

2、K近邻算法（KNN算法）

        k最近邻分类法是20世纪50年代早期首次引进的。给定大量训练集时，该方法是劳动密集的，直到20世纪60年代计算能力大大增强之后才流行起来。此后被广泛用于模式识别领域。

        工作原理：存在一个样本数据集合（训练样本集），并且样本集中每个数据都存在标签，即我们知道样本集中每一数据与所属分类的对应关系。输入没有标签的新数据后，将新数据的每个特征与样本集中数据对应的特征进行比较，然后算法提取样本集中特征最相似数据（最近邻）的分类标签。一般来说，我们只选择样本数据集中前k个最相似的数据。最后，选择k个最相似数据中出现次数最多的分类，最为新数据的分类。

        例子：下图中，绿色圆要被决定赋予哪个类，是红色三角形还是蓝色四方形？如果K=3，由于红色三角形所占比例为2/3，绿色圆将被赋予红色三角形那个类，如果K=5，由于蓝色四方形比例为3/5，因此绿色圆被赋予蓝色四方形类。

2.1  邻近性的度量方法

        “邻近性”用距离度量，距离越大，表示两个点越不相似。

        计算距离的方法：欧几里得距离、曼哈顿距离或其它距离。但多采用欧几里得距离（简单）。

        例：两个点或元组X₁=（x₁₁,x₁₂,...,x_1n）和X₂=（x₂₁,x₂₂,...,x_2n）的欧几里得距离是：

      

        换言之，对于每个数值属性，取元组X₁和X₂该属性对应值的差，取差的平方并累计。并取累计距离计数的平方根。

2.2  属性的数值规范化

        有助于防止具有较大初始值域的属性（如收入）比具有较小初始值域的属性（如二元属性）的权重过大。

        例如，可以通过计算下式，使用最小—最大规范化将数值属性A的值v变换到[0,1]区间中的v'

        其中min_A和max_A分别是属性A的最小值和最大值。

2.3  比较的属性不是数值类型而是分类类型（如颜色），如何计算距离？

        对于分类属性，一种简单的方法是比较元组X₁和X₂中对应属性的值。如果二者相同（例如，元组X₁和X₂都是蓝色），则二者之间的差为0。如果二者不同（例如，元组X₁是蓝色，而元组X₂是红色），则二者之间的差为1。

        其他方法可采用更复杂的方案。（例如，对蓝色和白色赋予比蓝色和黑色更大的差值。）

2.4  缺失值的处理

        解决办法：取最大的可能差。

        对于分类属性，假设每个属性都已经映射到[0,1]区间，如果属性A的一个或两个对应值丢失，则取差值为1；

        如果A是数值属性，若两个比较的元组属性A的值均缺失，则取差值为1，若只有一个缺失，另一个存在并且已经规范化（记作v'），则取差值为｜1-v'｜和｜0-v'｜中的最大者。

2.5  确定近邻数k的值

        引用李航博士的书【统计学习方法】中的内容：

        K值的选择会对k近邻法的结果产生重大影响。

        如果选择较小的K值，就相当于用较小的邻域中的训练实例进行预测，“学习”的近似误差会减小，只有与输入实例较近或相似的训练实例才会对预测结果起作用。但缺点是“学习”的估计误差会增大，预测结果会对近邻的实例点非常敏感。如果近邻的实例点恰巧是噪声，预测就会出错。换句话说，K值的减小就意味着整体模型变得复杂，容易发生过拟合。

        如果选择较大的K值，就相当于用较大邻域中的训练实例进行预测。其优点是可以减少学习的估计误差。但缺点是学习的近似误差会增大。这时，与输入实例较远（不相似的）训练实例也会对预测起作用，使预测发生错误。K值的增大就意味着整体的模型变得简单。

        如果K=N，则完全不足取，因为此时无论输入实例是什么，都只是简单的预测它属于在训练实例中最多的类。模型过于简单，忽略了训练实例中大量有用信息。

        在实际应用中，K值一般取一个比较小的数值。例如采用交叉验证法（简单来说，就是一部分样本做训练集，一部分做测试集）来选择最优的K值。

        引用【数据挖掘概念与技术】中的内容：

         可以通过实验确定。

         从k=1开始，使用检验集估计分类器的误差率。重复该过程，每次k增值1，允许增加一个近邻。选取产生最小误差率的k。

         一般，训练元组数越多，k的值越大。

2.6  对噪声数据或不相关属性的处理

        最近邻分类法使用基于距离的比较，本质上赋予每个属性相等的权重。因此，当数据存在噪声或不相关属性时，它们的准确率可能会受到影响。

        对属性赋予相关性权重w，w越大说明属性对分类的影响越相关。对噪声数据可以将所在的元组直接cut掉。

2.7  算法流程

2.8 算法的改进策略

        最近邻分类法在对检验元组分类时可能非常慢。如果D是具有|D|个元组的训练数据库，而k=1，则对一个给定的检验元组分类需要O(|D|)次比较。改进如下：

3、kd树

        上面“算法的改进策略”已经提到了搜索树。

        其实，实现k近邻算法时，考虑的主要问题是如何对训练数据进行快速k近邻搜索。这点在特征空间的维数大及训练数据容量大时尤其重要。

        K近邻法最简单的实现方法是线性扫描。这时要计算输入实例与每一个训练实例的距离。当训练集很大时，计算耗时，这种方法是不可行的。

        为了提高k近邻搜索的效率，可以考虑使用特殊的结构存储训练数据，以减少计算距离的次数。具体方法很多，其中比较常见的是kd树方法。

 

        Kd树的详细介绍：

        参见：

        1、李航博士的《统计学习方法》中的章节（k近邻法的实现：kd树）

        2、大牛的博客

 

 

更多文献：可以参见大牛的博客