关于利用FFT分析时域信号幅相的思考与验证

利用FFT分析/估计时域信号的幅度和相位&＃xff0c;属于传统估计的范畴。估计的准确程度受频率分辨率的影响较大。如果被估计的目标频率等于频率分辨率的整数倍&＃xff0c;信号的幅相估计都是最准确的。一旦目标频率不等于频率分辨率的整数倍&＃xff0c;幅度估计值将会降低&＃xff0c;相位估计值会偏差很大。

下面会通过一些仿真来验证。

信号幅值&＃xff1a;10

信号相位&＃xff1a;45°

信号频率&＃xff1a;100Hz

信号类型&＃xff1a;实信号

采样率&＃xff1a;1000Hz

采样点数&＃xff1a;100

频率分辨率&＃xff1a;10Hz

信号频率等于分辨率整数倍

MATLAB代码&＃xff1a;

clc;
clearvars;
close all;fs&＃61;10e2;
f0&＃61;1e2;
p0&＃61;-pi/8;
N&＃61;100;
t&＃61;(0:N-1)/fs;
s&＃61;10*cos(2*pi*f0*t&＃43;p0);
figure;
subplot(311)
plot(s)
title(&＃39;时域波形&＃39;);xlabel(&＃39;采样点数&＃39;);ylabel(&＃39;采样幅度&＃39;)subplot(312)
plot((linspace(-fs/2,fs/2-fs/N,N)),abs(fftshift(fft(s)))/N)
title(&＃39;幅度谱&＃39;);xlabel(&＃39;频率/Hz&＃39;);ylabel(&＃39;幅度&＃39;)subplot(313)
plot((linspace(-fs/2,fs/2-fs/N,N)),angle(fftshift(fft(s)))/pi*180)
title(&＃39;相位谱&＃39;);xlabel(&＃39;频率/Hz&＃39;);ylabel(&＃39;相位/°&＃39;)

 注意&＃xff0c;此处分析的双边谱&＃xff0c;所以每边高度为 10/2 &＃61; 5&＃xff1b;

相位估计很准确&＃xff0c;是45°相位。

信号频率不等于分辨率整数倍

如果改变采样点数&＃xff08;改为128&＃xff09;&＃xff0c;使得频率分辨率变化&＃xff0c;不等于分辨率的整数倍&＃xff0c;则&＃xff1a;

clc;
clearvars;
close all;fs&＃61;10e2;
f0&＃61;1e2;
p0&＃61;pi/4;
N&＃61;128;
t&＃61;(0:N-1)/fs;
s&＃61;10*cos(2*pi*f0*t&＃43;p0);
figure;
subplot(311)
plot(s)
title(&＃39;时域波形&＃39;);xlabel(&＃39;采样点数&＃39;);ylabel(&＃39;采样幅度&＃39;)subplot(312)
plot((linspace(-fs/2,fs/2-fs/N,N)),abs(fftshift(fft(s)))/N)
title(&＃39;幅度谱&＃39;);xlabel(&＃39;频率/Hz&＃39;);ylabel(&＃39;幅度&＃39;)subplot(313)
plot((linspace(-fs/2,fs/2-fs/N,N)),angle(fftshift(fft(s)))/pi*180)
title(&＃39;相位谱&＃39;);xlabel(&＃39;频率/Hz&＃39;);ylabel(&＃39;相位/°&＃39;)

 根据仿真结果&＃xff0c;发现频率、幅度估值有微小偏差&＃xff0c;相位的估计值几乎不可信。

信号频率等于分辨率整数倍&＃xff0c;加噪声

考虑噪声影响&＃xff1a;

clc;
clearvars;
close all;fs&＃61;10e2;
f0&＃61;1e2;
p0&＃61;pi/4;
N&＃61;100;
t&＃61;(0:N-1)/fs;
s&＃61;10*cos(2*pi*f0*t&＃43;p0) &＃43; 2*randn(1,N);
figure;
subplot(311)
plot(s)
title(&＃39;时域波形&＃39;);xlabel(&＃39;采样点数&＃39;);ylabel(&＃39;采样幅度&＃39;)subplot(312)
plot((linspace(-fs/2,fs/2-fs/N,N)),abs(fftshift(fft(s)))/N)
title(&＃39;幅度谱&＃39;);xlabel(&＃39;频率/Hz&＃39;);ylabel(&＃39;幅度&＃39;)subplot(313)
plot((linspace(-fs/2,fs/2-fs/N,N)),angle(fftshift(fft(s)))/pi*180)
title(&＃39;相位谱&＃39;);xlabel(&＃39;频率/Hz&＃39;);ylabel(&＃39;相位/°&＃39;)

 根据仿真结果&＃xff0c;信号的频率估计准确&＃xff0c;但是幅度和相位的估计存在微小误差。

信号的频点均位于频率分辨率整数倍的位置&＃xff1a;

clc;
clearvars;
close all;fs&＃61;10e2;
f0&＃61;1e2;
p0&＃61;pi/4;
f1&＃61;2e2;
p1&＃61;pi/2;
N&＃61;100;
t&＃61;(0:N-1)/fs;
s&＃61;10*cos(2*pi*f0*t&＃43;p0) &＃43; 4*cos(2*pi*f1*t&＃43;p1);
figure;
subplot(311)
plot(s)
title(&＃39;时域波形&＃39;);xlabel(&＃39;采样点数&＃39;);ylabel(&＃39;采样幅度&＃39;)subplot(312)
plot((linspace(-fs/2,fs/2-fs/N,N)),abs(fftshift(fft(s)))/N)
title(&＃39;幅度谱&＃39;);xlabel(&＃39;频率/Hz&＃39;);ylabel(&＃39;幅度&＃39;)subplot(313)
plot((linspace(-fs/2,fs/2-fs/N,N)),angle(fftshift(fft(s)))/pi*180)
title(&＃39;相位谱&＃39;);xlabel(&＃39;频率/Hz&＃39;);ylabel(&＃39;相位/°&＃39;)

对于多点频信号&＃xff0c;只要信号频点均位于分辨率整数倍的位置&＃xff0c;其估值都十分准确。

下面再试验一下复信号&＃xff1a;

clc;
clearvars;
close all;fs&＃61;10e2;
f0&＃61;1e2;
p0&＃61;pi/4;
f1&＃61;2e2;
p1&＃61;pi/2;
N&＃61;100;
t&＃61;(0:N-1)/fs;
s&＃61;10*exp(1j*(2*pi*f0*t&＃43;p0)) &＃43; 4*exp(1j*(2*pi*f1*t&＃43;p1));
figure;
subplot(411)
plot(real(s))
title(&＃39;时域波形(实部)&＃39;);xlabel(&＃39;采样点数&＃39;);ylabel(&＃39;采样幅度&＃39;)subplot(412)
plot(imag(s))
title(&＃39;时域波形(虚部)&＃39;);xlabel(&＃39;采样点数&＃39;);ylabel(&＃39;采样幅度&＃39;)subplot(413)
plot((linspace(-fs/2,fs/2-fs/N,N)),abs(fftshift(fft(s)))/N)
title(&＃39;幅度谱&＃39;);xlabel(&＃39;频率/Hz&＃39;);ylabel(&＃39;幅度&＃39;)subplot(414)
plot((linspace(-fs/2,fs/2-fs/N,N)),angle(fftshift(fft(s)))/pi*180)
title(&＃39;相位谱&＃39;);xlabel(&＃39;频率/Hz&＃39;);ylabel(&＃39;相位/°&＃39;)

 根据仿真结果&＃xff0c;可以看出&＃xff0c;复信号同样满足上述结论&＃xff0c;即信号频率位于分辨率整数倍位置时&＃xff0c;用FFT可以精确估计其频率和相位。

结尾处再次说明一下&＃xff1a;

不论是是信号还是复信号&＃xff1a;

1. 不加噪声时&＃xff0c;位于分辨率整数倍处的信号频率、相位均可以被精确估算&＃xff1b;
2. 不加噪声时&＃xff0c;不位于分辨率整数倍处的信号频率的估计存在微小误差、相位估计值基本不可信&＃xff1b;
3. 加噪声时&＃xff0c;位于分辨率整数倍处的信号频率可以被精确估算&＃xff0c;相位估算存在微小偏差&＃xff1b;

可以结合代码和仿真进行理解&＃xff0c;如有疑问&＃xff0c;评论区留言吧~~