各种距和差

一、

　　问题&＃xff1a;平均数——描述了数据的中心所在&＃xff0c;但是&＃xff0c;无法描述数据的分散情况。

　　目的&＃xff1a;描述数据相对于&＃xff0c;平均数的分布情况。

 

二、目录&＃xff1a;

　　1.全距&＃xff08;极差&＃xff09;

　　2.四分位距

　　3.箱型图

　　4.方差、标准差

　　5.标准分

 

三、

　　1.全距&＃xff08;极差&＃xff09;&＃xff1a;

　　　　1.1 计算方法&＃xff1a; 全距 &＃61; max&＃xff08;上界&＃xff09; - min&＃xff08;下界&＃xff09;

　　　　

　　　　1.2　　

　　　　　　上界——数据集中的最大值max

　　　　　　下界——数据集中的最小值min

　　　　

　　　　1.3 意义&＃xff1a;描述了数据集的宽度。

 

　　　　1.4 优点&＃xff1a;最简单

　　　　　　缺点&＃xff1a;1.全距只描述了&＃xff0c;数据的宽度&＃xff0c;没有描述在上、下界之间的数据的真是形态是如何分布的。

　　　　　　　　　2.全距极容易受到&＃xff0c;异常值的影响。

　　　　　　　　　　　　解决方法&＃xff1a;如何摆脱异常值影响——只使用数据中心周围的数值——四分位距

 

　　2.四分位距&＃xff1a;

　　　　2.1 定义&＃xff1a;

　　　　　　将数据一分为4&＃xff0c;最小的四分位数称为下四分位数&＃xff08;Q₁&＃xff09;&＃xff0c;最大的四分位数称为上四分位数&＃xff08;Q3&＃xff09;&＃xff0c;中间的四分位数即&＃xff0c;中位数&＃xff08;Q₂&＃xff09;。

　　　　　　

 

　　　　2.2 四分位距&＃xff08;IQR&＃xff09;&＃xff1a;

　　　　　　　　每两个四分位数之间的距被称为四分位距&＃xff08;IQR&＃xff09;

　　　　　　　　四分位距 &＃61; 上四分位数  —  下四分位数

　　　　　　　　IQR　&＃61;     Q₃　—　Q₁

 

　　　　2.3 如何计算&＃xff1f;

　　　　　　　STEP1&＃xff1a;排序

　　　　　　　　　　将所有的数据按照升序进行排列。———一共n个数据

　　　　　

　　　　　　　STEP2&＃xff1a;求下四分位数Q₁的位置&＃xff1a;

　　　　　　　　　　2.1 计算&＃xff1a;n ÷ 4

　　　　　　　　　　2.2  a: 如果n ÷ 4结果为整数&＃xff0c;则Q₁位于n ÷ 4这个位置和下一个位置之间&＃xff0c;取这两个位置上的数值的平均值。

　　　　　　　　　　　　b: 如果n ÷ 4结果不是整数&＃xff0c;则将n ÷ 4结果向上取整&＃xff0c;所得结果即为的Q₁位置

　　　　　　　　　　　　eg: n &＃61; 6时&＃xff0c;n ÷ 4 &＃61; 1.5&＃xff0c;向上取整——>得2&＃xff0c;Q₁位置为2

　　　　　　　STEP3&＃xff1a;求下四分位数Q₃的位置&＃xff1a;

　　　　　　　　　　2.1 计算&＃xff1a;3n ÷ 4

　　　　　　　　　　2.2  a: 如果3n ÷ 4结果为整数&＃xff0c;则Q₃位于3n ÷ 4这个位置和下一个位置之间&＃xff0c;取这两个位置上的数值的平均值。

　　　　　　　　　　　　b: 如果3n ÷ 4结果不是整数&＃xff0c;则将3n ÷ 4结果向上取整&＃xff0c;所得结果即为的Q₃位置

　　　　　　　　　　　　eg: n &＃61; 6时&＃xff0c;3n ÷ 4 &＃61; 4.5&＃xff0c;向上取整——>得5&＃xff0c;Q₃位置为5

　　　　

　　　　　　　STEP4&＃xff1a;求IQR&＃xff1a;

　　　　　　　　　 IQR　&＃61;     Q₃　—　Q₁

　　　　

　　　　2.4 优点&＃xff1a;与全距相比&＃xff0c;四分位距&＃xff0c;可以较少的受到异常值的影响。

　　　　　　　　  原因&＃xff1a;四分位距仅仅使用了位于中间部分的50%的数据&＃xff0c;而异常值是不可能位于中间部分的&＃xff0c;从而将数据中的异常值剔除了。

　　　　　   缺点&＃xff1a;a.只度量了数据的分散性&＃xff0c;但是没有度量数据的稳定性。

　　　　　　　　　b.由于为了剔除极端值异常值&＃xff0c;只考虑了部分数据&＃xff0c;不能完全反映数据整体。

 

 

　　　　2.5 意义&＃xff1a;可以对不同的数据集进行比较&＃xff0c;而且比较结果不会被异常值扭曲

　　　　　　　　&＃xff08;全距极差存在问题&＃xff1a;全距非常容易收到异常值的影响&＃xff0c;只要掺进去一个异常值&＃xff0c;求出的全距就会是天差地别

　　　　　　　　  采用四分位距&＃xff0c;只关注数据中央的50%数据&＃xff0c;这样就排除了异常值的影响。&＃xff09;

 

　　3. 百分位数&＃xff1a;

　　　　3.1 将数据分成100份&＃xff0c;起作用的数值被称为百分位数。

　　　　3.2 第K百分位数&＃xff0c;位于数据的k%出的数值&＃xff0c;记为&＃xff1a;P_k　

　　　　　

　　

　　　　3.3 用途&＃xff1a;a. 通过百分位数确定某个数值相对于其他数值的高低。

　　　　　　　 　  b.划分名次、档次、排行。

 

 

　　　　3.4 P_k 的求法&＃xff1a;

　　　　　　STEP1&＃xff1a;将所有数值按照升序排序。

　　　　　　

　　　　　　STEP2&＃xff1a;计算k × (n ÷ 100)

 

　　　　　　STEP3:   a.如果k × (n ÷ 100) 的值为整数&＃xff0c;则第k百分位数处于k × (n ÷ 100)位和下一位数之间&＃xff0c;去这两个数的平均值&＃xff0c;即为P_k

　　　　　　　　　　 b.如果k × (n ÷ 100) 的值不是整数&＃xff0c;将结果向上取整&＃xff0c;得到的结果即为第k百分位数的位置。

 

 

　　4.箱线图

　　　　4.1 作用&＃xff1a;用来显示各种距。

　　　　4.2 画法&＃xff1a;2种

　　　　　　　　法一&＃xff1a;

　　　　　　　　　　STEP1&＃xff1a;先画出一个箱子&＃xff0c;箱子的左边是下四分位数Q₁&＃xff0c;右边是上四分位数Q₃。

　　　　　　　　　　STEP2&＃xff1a;在箱子中&＃xff0c;画一条直线&＃xff0c;标注出中位数Q2

　　　　　　　　　　STEP3&＃xff1a;在箱子两边&＃xff0c;画出“线”&＃xff0c;显示出数据的上界max、下界min和全距

 

 　　　　　　　　法二&＃xff1a;

 

　　5.方差σ²与标准差σ&＃xff1a;

　　　　5.0 为什么有了全距和四分位距&＃xff0c;还要有方差、标准差&＃xff1f;

　　　　　　方差σ²与标准差σ的出现是由于&＃xff0c;四分位距IQR存在一些问题。

　　　　　　　　　a.四分位距IQR只度量了数据的分散性&＃xff0c;但是IQR没有度量数据的稳定性。

　　　　　　　　　b.由于为了剔除极端值异常值&＃xff0c;IQR只考虑了部分数据&＃xff0c;不能完全反映数据整体。

 　　　　

　　　　5.1 如何计算&＃xff1f;

　　　　 　　　　 

 　　　　　　　　

　　　　　　　　标准差的计量单位与相应的数据的单位相同

 

　　　　5.2 意义&＃xff1f;

　　　　　　标准差σ——度量了数据与均值的距离&＃xff0c;从而描述了数据的分散性——各个数值相对于均值而言&＃xff0c;如何变化。

 　　　　　　　　　　如果标准差较大&＃xff0c;则意味着数值往往距离均值较远&＃xff1b;如果标准差较小&＃xff0c;则数值往往距离均值较近。

 

　　6.如何对均值不同&＃xff0c;标准差也不同的&＃xff0c;不同的数据集进行比较&＃xff1f;————标准分Z

　　　　6.1 如何计算标准分Z&＃xff1f;

　　　　　　　　

 

　　　　6.2 标准分有何意义&＃xff1f;

　　　　　　　　标准分将不同的数据分布&＃xff0c;都转化为成一个均值μ&＃61;0&＃xff0c;标准差σ&＃61;1的标准分布。

　　　　　　　　标准分z&＃xff0c;表示的是相对于均值0的位置。

 

　　　　　　

现在的问题&＃xff1a;

　　1.了解不同的箱线图形式

　　2.标准分的意义。