高斯消元法高斯约当(GaussJordan)消元法

高斯消元法是求解线性方程组的常用方法&＃xff0c;高斯约当消元法大家可能不是很熟悉。下面先介绍线性方程组和矩阵的一些基本概念与高斯消元法&＃xff0c;然后着重介绍高斯约当消元法相对于高斯消元法的优势&＃xff1a;程序简单&＃xff08;不需要回代&＃xff09;&＃xff0c;应用广泛&＃xff08;例如求矩阵的逆&＃xff09;&＃xff0c;易于判断处理特殊情况&＃xff08;有无穷多解的情况&＃xff09;。

　　这是一个线性方程组&＃xff1a;



　　把方程组中的系数矩阵 和结果向量 并置&＃xff0c;得到下面的增广矩阵&＃xff1a;



　　高斯消元法的基本方法是使用加减消元&＃xff0c;依次选定每一个未知数 &＃xff0c;利用增广矩阵的其中一行消去尚未利用的其他行中出现的 &＃xff0c;最终利用回代过程求得方程组的解。为了减小误差&＃xff0c;每次都应选择 的系数绝对值最大的一行。

　　高斯消元法实现时有一些不易处理的问题&＃xff1a;
　　1.回代过程&＃xff1a;虽然公式并不复杂&＃xff0c;可是编程时代入消元和加减消元并用&＃xff0c;对于初学者&＃xff08;比如我&＃xff09;依然是一个不小的障碍。
　　2.自由变量&＃xff1a;如果消元过程中存在自由变量&＃xff0c;必须立刻赋值&＃xff0c;否则无法继续。这样求出的是一组特解&＃xff0c;难以求出其他变量与自由变量的函数关系。
　　3.交换两行&＃xff1a;处理时需要反复交换原矩阵的两行&＃xff0c;给调试工作带来困难。
　　
　　高斯约当消元法解决了这些问题。与高斯消元法不同的是&＃xff0c;每次消去时把当前等式中 的系数化为 &＃xff0c;同时不仅消去尚未利用的行中出现的 &＃xff0c;也消去已利用的行中出现的 。这样在消元完成后不需要回代过程&＃xff0c;方程组中每一行都是 的形式。同时由于不需要回代过程&＃xff0c;方程组中各个未知数的消元顺序不再那么严格&＃xff0c;因此我们可以把“选择行主元”变成“选择列主元”&＃xff0c;也就是依次选定每一个方程&＃xff0c;从中选择系数绝对值最大的 来消元。这样方程可以依次处理&＃xff0c;自由变量在消元完成之前不会出现。若出现“无元可消”&＃xff0c;只有两种情况&＃xff1a; 和 &＃xff0c;前者直接忽略&＃xff0c;后者直接无解。