概率论与数理统计基本概念

基本概念

随机实验

随机实验可以简称为实验&＃xff0c;它满足以下的条件&＃xff1a;

• 可以在相同条件下重复进行
• 每次实验的结果不止一个&＃xff0c;且实验前明确
• 进行实验之前不明确那个结果会发生

样本空间

样本空间就是随机实验可能的结果的集合
每一个可能的结果称为样本点
例如:

• 扔色子的样本空间S &＃61; {1,2,3,4,5,6}
• 灯泡的寿命S &＃61; {t | t >&＃61; 0}

事件

事件就是发生的某种情况&＃xff0c;可以用一个集合来表示&＃xff0c;这个集合必然是样本空间的子集。
当事件结果的集合中对应元素出现时&＃xff0c;则称为事件发生。

1. 随机事件

随机事件就是要研究的事件&＃xff0c;所有其他的事件都被属于随机事件
例如之前的扔色子&＃xff0c;可以有一个点数为偶数的随机事件,
用集合来表示就是S &＃61; {2,4,6}

2. 基本事件

基本事件就是指单个样本点组成的集合。还是用色子来举例&＃xff0c;点数为1就是一个基本事件&＃xff0c;对应的集合为S &＃61; {1}

3. 必然事件

包含所有样本点的事件&＃xff0c;也就是必然事件的集合和样本空间相同

4. 不可能事件

不可能事件不包含任何样本点&＃xff0c;用空集表示

5. 完备事件组
   当多个事件之间两两没有交集&＃xff0c;并且他们的并集为样本空间&＃xff0c;则这些事件组成一个完备事件组&＃xff0c;或者叫做 “划分” 。

事件运算

随机事件的关系

1. 包含

2. 相等

3. 和事件&＃xff0c;跟编程中的或运算相同

4. 积事件&＃xff0c;与编程中的与运算符相同

因为是积事件&＃xff0c;可以直接写作乘积的形式

5. 减法关系

去除事件A中事件B的包含部分

6. 无关&＃xff08;互斥&＃xff09;

7. 对立

运算律

频率与概率

概率是一件事发生的可能性大小的数字衡量。

事件A在n次实验中发生了m次&＃xff0c;则事件的概率为P(A)&＃61;mnP(A) &＃61; \frac mnP(A)&＃61;nm​

频率是一次实验中得到的结果&＃xff0c;概率的频率定义为&＃xff1a;

随着实验次数的增加&＃xff0c;频率会在某个数值附近波动&＃xff0c;这个数值被称为概率

概率的性质

• 对于任何一个事件&＃xff0c;概率都在0-1之间
• 不然事件的概率为1&＃xff0c;不可能事件的概率为0
• 有限可加性
• 包含可减性
• 对任意一个事件A&＃xff0c;它的对立事件A‾\overline{A}A的概率为P(A‾)&＃61;1−P(A)P(\overline{A})&＃61;1 - P(A)P(A)&＃61;1−P(A)
• 减法公式&＃xff1a;对于任意的两个事件A、B&＃xff0c;有$P(B-A)\&＃61;P(B)-P(AB)$
• 加法公式&＃xff1a;对于任意的两个事件A、B&＃xff0c;有$P(A\&＃43;B)\&＃61;P(A)\&＃43;P(B)-P(AB)$

古典概型和几何概型

古典概型基本事件的个数为有限个&＃xff0c;并且每个基本事件的可能性都相同。

几何概型有无限的样本点&＃xff0c;每个样本点出现的可能性相等。
比如时间&＃xff0c;长度&＃xff0c;面积这一类的问题。

条件概率和乘法公式

计算公式

性质

乘法公式