概率论的学习和整理11：伯努利试验的3种分布：01分支，几何分布，二项分布

1.1 什么是伯努利试验

伯努利试验

• 伯努利试验是一个有两种结果的简单试验&＃xff0c;它的结果是成功或失败&＃xff0c;黑或白&＃xff0c;开或关&＃xff0c;没有中间的立场。
• 每次试验的结果只有两个&＃xff1a;事件发生或不发生&＃xff0c;或多种结果归纳为高度抽象为两种

伯努利概型是一种基于独立重复试验的概率模型&＃xff0c;它的基本特征&＃xff1a;

• 在一组固定不变的条件下重复地做一种试验。
• 每次试验的结果只有两个&＃xff1a;事件发生或不发生&＃xff0c;或多种结果归纳为高度抽象为两种
• 每次试验中&＃xff0c;相同事件发生的概率均一样。(试验样本总数和概率不能变)
• 各次重复试验的结果是相互独立&＃xff0c;互不影响的。
• 1重伯努利试验 就是 0-1分布
• n 重伯努利试验 就是二项分布     p&＃61;C(n,k)*p^k*(1-p)^n-k

N重伯努利试验 和二项分布
 优势

• 不要求具体的样本总量的具体 数量
• 只需要知道概率就行&＃xff0c;但要求概率是稳定不变的&＃xff08;多次伯努利试验时&＃xff09;
• 还需要知道 抽样试验的次数&＃xff0c;目标事件的次数

 局限性

• 能不能用二项分布先判断&＃xff0c;是不是符合N重伯努利试验&＃xff0c;如果不符合就没戏
• 二项分布&＃xff0c;伯努利试验&＃xff0c;需要保证样本容量确定&＃xff0c;且分布也要稳定&＃xff0c;否则不能
• 必须是放回抽样
• 如果是不放回抽样&＃xff0c;

1. 要么认为样本极其大&＃xff0c;忽略样本总量变化&＃xff0c;概率变化不稳定的影响
2. 要么得用超几何分布

使用时注意点

• 需要严格认识的地方&＃xff1a;
• N次试验&＃xff0c;每次试验都稳定&＃xff0c;样本总数和概率都稳定才能视为N重伯努利试验&＃xff0c;才能用二项分布
• 不放回抽样&＃xff0c;一般不适合二项分布
• 因为小样本量前提下&＃xff0c;不放回抽样会破坏第一次试验后的样本空间数和概率&＃xff0c;发生变化&＃xff01;第2次试验无法和第1次相同了
• 如果样本量足够大&＃xff0c;即使是不放会抽样&＃xff0c;可以用二项分布近似

1.2 伯努利试验相关的3种分布

• 0-1分布
• 只进行1次伯努利试验的随机变量&＃xff0c;符合0-1分布&＃xff0c;f(x&＃61;k)&＃61;p^k*(1-p)^(1-k)
• k&＃61;{0,1}

• 几何分布&＃xff1a;
• 进行n次伯努利试验&＃xff0c;只有最后1次成功&＃xff0c;成功次数第N次,N符合几何分布
• f(x&＃61;k)&＃61;p*(1-p)^(k-1)
• 其中 k 是总试验次数&＃xff0c;一共进行了k次&＃xff0c;且第k次&＃xff08;也就是最后1次&＃xff09;成功

• 二项分布&＃xff1a;
• 进行N次伯努利试验&＃xff0c;有k次成功&＃xff0c;成功次数k符合二项分布
• f(x&＃61;k)&＃61;C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)
• 其中n是总试验次数&＃xff0c;k是成功次数&＃xff08;对应成功的概率p&＃xff09;

2.1 0-1分布的基本概率和公式

0-1分布&＃xff1a;只进行1次伯努利试验的随机变量&＃xff0c;结果只有2种&＃xff0c;符合0-1分布

 一个随机事件&＃xff0c;发生记为k&＃61;1&＃xff0c;不发生记为k&＃61;0&＃xff0c;若事件服从0-1分布&＃xff0c;

则k的分布律为&＃xff1a;      
               k      0       1                 
            p(k)    1-p    p          

• 0-1分布的概率公式 f(x)&＃61;p^k*(1-p)^(1-k)
• k&＃61;{0,1}
• 其实就是

1. k&＃61;1时&＃xff0c;f(x)&＃61;p 
2. k&＃61;0时&＃xff0c;f(x)&＃61;1-p

2.2 0-1分布的概率分布图&＃xff0c;pdf 和 cdf

• 0-1分布&＃xff0c;因为只有1次试验
• 只有两种结果
• 所以分布图看起来就是这种直线。。。。

2.3 0-1分布的期望和方差                 

• E(X)    &＃61; 0*(1-p)&＃43;1*p  &＃61;    p                
• D(X)    &＃61;    p*(1-P)         
• 缺少证明过程       

3.1 什么是几何分布

几何分布就是一种定义为&＃xff1a;在n次伯努利试验中&＃xff0c;试验k次才得到第一次成功的机率。

详细地说是&＃xff1a;前k-1次皆失败&＃xff0c;第k次成功的概率。

• 首先几何分布&＃xff0c;属于古典概型/ 伯努利试验
• 特点是&＃xff1a;只有每次试验只可能有两种结果
• 如果只做1次试验&＃xff0c;那是属于0-1分布&＃xff0c;但是如果做N次试验&＃xff0c;但是只有最后一次成功&＃xff0c;则随机变量符合 几何分布&＃xff0c;但是如果做N次试验&＃xff0c;没其他限制&＃xff0c;则随机变量符合 二项分布
• 由上可知&＃xff0c;0-1分布&＃xff0c;几何分布&＃xff0c;应该都可以归纳为&＃xff0c;二项分布的一种特例。

4.1 什么是二项分布 和N重伯努利试验

• 在概率论和统计学中&＃xff0c;二项分布是n个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布&＃xff0c;
• 其中每次试验的成功概率为p。
• 其实&＃xff0c;只有符合N重伯努利试验的随机变量&＃xff0c;才可能服从二项分布&＃xff01;

• 二项分布包含0-1分布和几何分布
• 当n&＃61;1时&＃xff0c;二项分布就是伯努利分布&＃xff0c;也就是0-1分布&＃xff0c;如果只有最后一次成功又是几何分布。

4.2 二项分布的公式

• 一般地&＃xff0c;如果随机变量服从参数为和的二项分布&＃xff0c;我们记为或。n次试验中正好得到k次成功的概率由概率质量函数给出&＃xff1a; 
• p(x&＃61;k)&＃61;C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k)
• 其中n是总试验次数&＃xff0c;k是成功次数&＃xff08;对应成功的概率p&＃xff09;
• 式中k&＃61;0&＃xff0c;1&＃xff0c;2&＃xff0c;…
• 而C(n,k)&＃61; n!/(n-k)!*k!  是二项式系数,&＃xff08;这就是二项分布名称的由来&＃xff09;

•  该公式可以用以下方法理解&＃xff1a;我们希望有k次成功(p)和n−k次失败(1 −p)。
• 并且&＃xff0c;k次成功可以在n次试验的任何地方出现&＃xff0c;而把k次成功分布在n次试验中共有个C(n,k)不同的方法。

4.3 二项分布的两个概率的概念理解

• 二项分布&＃xff0c;指的是N次试验里成功k次的概率符合二项分布
• 而内部的单次试验&＃xff0c;是伯努利试验&＃xff0c;其单次试验的概率p&＃xff0c;是稳定不变的。

• N 次试验里成功k次的概率的  k~~p(k) 情况 
• p(k) 是 表示多次试验&＃xff0c;且要求&＃xff08;n次出k次成功&＃xff09;的概率
• p(k) 和单次试验的概率P不要混淆
   

4.4 二项分布概率分布函数

4.4.1 二项分布的pdf 和cdf 如图

• 二项分布的pdf
• 二项分布的cdf

4.4.2 二项分布的pdf 的变化

先看下整体图

• 纵向是&＃xff0c;单次伯努利试验的p提升
• 横向是&＃xff0c;试验次数n的增加
• 内部里面是&＃xff0c;坐标系的横轴是 n次试验成功次数k&＃xff0c;k的概率变化

纵向看

• 在总试验次数不变的前提下&＃xff0c;随着 单次伯努利试验里&＃xff0c;概率p的增加
• 整个二项分布的波峰逐渐右移&＃xff0c;意味着&＃xff0c;波峰是概率最高的次数逐渐变大&＃xff08;概率越大&＃xff0c;n次试验内成功k次&＃xff0c;k也会越大&＃xff0c;符合直觉&＃xff09;
• 概率很小的时候&＃xff0c;可能只成功0次&＃xff0c;1次的概率很大&＃xff0c;
• 概率很大的时候&＃xff0c;试验n次,k次成功的k越来越大&＃xff0c;甚至接近n了

横向看

• 在单次伯努利试验里&＃xff0c;概率p不变的前提下&＃xff0c;随着试验次数的增多
• 整个二项分布的波峰逐渐右移&＃xff0c;意味着&＃xff0c;波峰是概率最高的次数逐渐变大&＃xff08;概率不变&＃xff0c;n次试验内成功k次&＃xff0c;试验次数n越多&＃xff0c;k也会越大&＃xff0c;符合直觉&＃xff09;
• 但是概率不变前提下&＃xff0c; 虽然成功的次数k变多了&＃xff0c;但比例并不变&＃xff08;因为基础的单次伯努利试验的概率没变&＃xff0c;这是横向变化的前提&＃xff09;

4.5 二项分布的期望和方差

• 二项分布的期望
• E(X)&＃61;n*p
• 二项分布的方差
• D(X)&＃61;n*p*(1-P)

缺乏推导过程

4.6 二项分布的一个例题

• 如果像利用二项分布&＃xff0c;需要灵活的去划分样本空间为2种结果&＃xff0c;比如例题中的
• 这样划分2种&＃xff1a;这次抽样后需要调整机器  &＃61;&＃61; 对应的变量是本次检验&＃xff0c;次品数量>1

1. 今天某次检查次品数>1&＃61;&＃61;今天需要调整机器  / 对立今天不调整机器
2. 每天检查4次&＃xff0c;相当于做了4次伯努利试验
3. 方法1&＃xff0c;完全用了二项分布思路和解法
4. 方法2&＃xff0c;用了古典概型的&＃xff0c;每次试验都是独立的&＃xff0c;和加法原理加起来算的

• 注意&＃xff0c;为了达到目标事件&＃xff0c;事件可能需要几次户型转化&＃xff0c;随机变量可能要转化几次