复函数图像怎么画_复合函数零点问题——最直观最简单

先声明一下&＃xff0c;笔者是自己高一琢磨出来的&＃xff0c;并没有参考任何、任何教辅资料。如有雷同&＃xff0c;纯属巧合。

下面直接进入正题&＃xff1a;

如果我们想画出一般的复合函数

的图像&＃xff0c;该怎么画呢&＃xff1f;

我们可以从如下角度去考虑&＃xff1a;

• 第一步&＃xff0c;确定
  &＃xff0c;从而得到了
  的值
• 第二步&＃xff0c;得到了
  的值&＃xff0c;将这个值带入到
  这个对应法则中去&＃xff0c;便能得到
  的值

由上可知&＃xff0c;

这个对应法则的“定义域”&＃xff0c;就相当于

的“值域”。&＃xff08;当然并不完全是&＃xff0c;根据具体题目而定&＃xff09;

所以&＃xff0c;为了研究

&＃xff0c;我们也就只用研究

和

了。&＃xff08;废话&＃xff09;

那么&＃xff0c;我们不妨做一个大胆的尝试&＃xff1a;把

和

放在“同一个坐标系”里。

下面放第一个简单的例题&＃xff1a;

例1.已知

显然&＃xff0c;我们从常规方法考虑&＃xff0c;很容易知道有2个根。

那么我们梳理一下常规思路&＃xff1a;

第一步&＃xff0c;令

&＃61;1&＃xff0c;解得

&＃61;

第二步&＃xff0c;令

,解得&＃xff1a;

由这一题&＃xff0c;我们便可以总结出

&＃61;k的解题步骤&＃xff1a;

• 因为有
  这个对应法则&＃xff0c;使得我们将
  &＃61;k的“k”转换得到了 “
  的值”
• 因为有
  这个对应法则&＃xff0c;使得我们将“
  的值”转换得到了“
  ”的值

so&＃xff0c;这就是放在“同一个坐标系”里的原因&＃xff08;图画的不好&＃xff0c;见谅&＃xff09;

此时的

&＃61;

是横着的&＃xff0c;它的“值域”&＃xff08;描述不准确&＃xff0c;见谅&＃xff09;对应着这个坐标系里的x轴&＃xff0c;而

本身的“x轴”则不确定&＃xff08;没必要画出来&＃xff09;&＃xff0c;并不是这个图里所谓“-5”的位置。

竖直的红线与图示x轴的交点为

横着的红线表示着 &＃xff1a;通过利用

这个对应法则&＃xff0c;将“1”转换成“

的值”

竖直的红线表示着&＃xff1a;通过利用

这个对应法则&＃xff0c;将“

的值”转换得到“

”的值

所以从图中很容易就看出来&＃xff0c;一共有两个不等实根。

这个方法很像“标根法”。

既然大家稍微理解了&＃xff0c;那么我们来几道“难的”

例2. 已知

&＃xff08;

&＃61;1,2,3,4&＃xff09;

我们不妨画一下图

竖直的绿线与图示x轴的交点的数值&＃xff1d;

显然&＃xff0c;

&＃xff0c;在小

里&＃xff0c;有

易得&＃xff1a;

从而&＃xff1a;

例3.

&＃xff0c;且

有三个不等实根&＃xff0c;则

________________

容易画出

的图像&＃xff1a;

则原题条件可看成&＃xff1a;

&＃61;

与

复合成

&＃xff0c;且

&＃61;0有且仅有三个不等实根

我们通过标根&＃xff0c;容易发现&＃xff0c;当且仅当下图所示时&＃xff0c;才可能有3个根&＃xff1a;

从而易得&＃xff1a;

从而解得&＃xff1a;

所以

例4.已知函数

容易画出函数

图像&＃xff1a;

则原题条件可看成&＃xff1a;

&＃61;

与

复合成

&＃xff0c;且

&＃61;0有6个不等实根

那么我们通过标根&＃xff0c;容易发现&＃xff0c;当且仅当下图所示时&＃xff0c;才可能有6个根&＃xff1a;

两个蓝色的虚线与横着的

的交点就是零点

则&＃xff0c;原题目等价为&＃xff1a;

&＃61;

在

内各有一个根。

这样子题目就变得很简单啦&＃xff0c;答案是

由于笔者实在太懒&＃xff0c;毕竟码公式和做图片也很难&＃xff0c;那笔者就将剩下的题目和答案作为练习奉上&＃xff1a;

1.已知函数

&＃xff0c;

,若

有4个零点&＃xff0c;则a的取值范围为&＃xff1a;________________________

2.已知函数

其中

&＃xff0c;若函数

有3个不同零点&＃xff0c;则m的取值范围是&＃xff1a;_______________________

3.已知函数

,

&＃xff0c;若

总共有六个零点&＃xff0c;求m范围&＃xff1a;____________________

答案&＃xff1a;

1.

2.&＃xff08;0,1&＃xff09;

3.

本篇文章从2020.4.4下午2点一直码到2020.4.5凌晨0.56&＃xff0c;由于笔者只有手写的题目&＃xff0c;故每个题目都手码公式了很久&＃xff0c;如果有不足之处&＃xff0c;希望大家多多包涵。欢迎在评论区补充留言。在这里&＃xff0c;我要特别鸣谢一直支持我的dl &＃64;meteor &＃xff08;大家可以看一下这个dl的圆锥曲线&＃xff09;&＃xff0c;题目里的图片都是我请他帮忙加工的&＃xff08;本人电脑渣&＃xff09;。我也要感谢dl &＃64;槿灵兮 &＃xff08;某种程度上是这些dl的文章激励着我去写一些平时微不足道的数学思考&＃xff09;

以上.