热门标签 | HotTags
当前位置:  开发笔记 > 程序员 > 正文

方程组_第一节方程组的几何解释

本文由编程笔记#小编为大家整理,主要介绍了第一节方程组的几何解释相关的知识,希望对你有一定的参考价值。第一节方程组的几何解释线性
本文由编程笔记#小编为大家整理,主要介绍了第一节 方程组的几何解释相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

第一节 方程组的几何解释

线性方程的基本问题就是解线性方程组

例:({ left{ egin{array}{*{20}{l}}
{2x-y=0}{-x+2y=3}
end{array}
ight. })

分析:

? 对于二元线性方程组,对应的矩阵表示是

? ({ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}}
{2 ext{?} ext{?} ext{?} ext{?}-1}{-1 ext{?} ext{?} ext{?} ext{?}2}
end{array}
ight] }}
ight. }{ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}}
{x}{y}
end{array}
ight] }={ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}}
{0}{3}
end{array}
ight] }}
ight. }}
ight. })

? 令:

? ({egin{array}{*{20}{l}}
{A={ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}}
{2 ext{?} ext{?} ext{?} ext{?}-1}{-1 ext{?} ext{?} ext{?} ext{?}2}
end{array}
ight] }}
ight. }}{x={ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}}
{x}{y}
end{array}
ight] }}
ight. }}{b={ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}}
{0}{3}
end{array}
ight] }}
ight. }}
end{array}})

则原线性方程简化为:(Ax=b)

矩阵(A)称为系数矩阵

从行图像理解方程组

上例中,一行一行看,每一个方程都表示二维平面上的一条直线,作图

技术图片

两条直线相较于点((1,2)),也就说从行图像上看,方程组的解是一个两条直线的交点

从行图像理解方程组

将原方程组转化成向量形式:

({x{ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}}
{2}{-1}
end{array}
ight] }}
ight. }+y{ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}}
{-1}{2}
end{array}
ight] }={ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}}
{0}{3}
end{array}
ight] }}
ight. }}
ight. }})

左边两个向量,通过(x)(y)的线性组合形成了右边的向量,此时((1,2))是方程组的解,作图

技术图片

从列图像上看,方程组的解,是找出左侧向量与(x,y)的合适组合(即线性组合)得到右侧向量

多元方程组

从两元方程组延伸到三元:


  1. 行图像:在三维空间中,三个平面的交点(假设有一个解)

    技术图片

  2. 列图像:通过左侧三个向量的线性组合,得到右侧向量


综合行图像与列图像的分析,多元方程组的行图像是对矩阵(A)的行进行处理,而列图像是对矩阵(A)的列进行线性组合

问题

在这里思考一个问题:对于一个三元方程组(线性方程表示):

(Ax=x(列1)+y(列2)+z(列3)=b)

由于(x,y,z)都是未知量,它们可能有无数种线性组合,

那么对于任意的(b),是否都能求出(Ax=b)也就是说所有列的线性组合能否覆盖整个三维空间?

答案是否定

比如在列图像角度分析,对于一个方阵(行数和列数相等的矩阵)(A),当三个列向量在同一平面上时(假设方程组有解),这三个列向量的线性组合也在这个平面上,也就是说(b)只能在这个平面上不会覆盖整个三维空间,这时矩阵(A)称为奇异矩阵,矩阵(A)不可逆的;如果三个列向量不共面,那么它们的线性组合有无数种情况,也就是说(b)的取值覆盖了整个三维空间,这时矩阵(A)称为非奇异矩阵

这是对奇异矩阵和非奇异矩阵几何理解,后面会再进行深入学习

矩阵与向量的运算

例:

({ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}}
{2 ext{?} ext{?}5}{1 ext{?} ext{?}3}
end{array}
ight] }}
ight. }{ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}}
{1}{2}
end{array}
ight] }}
ight. })

法一:(线性运算)

原式({=1{ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}}
{2}{1}
end{array}
ight] }}
ight. }+2{ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}}
{5}{3}
end{array}
ight] }=}
ight. }{ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}}
{1 imes 2+2 imes 5}{1 imes 1+2 imes 3}
end{array}
ight] }}
ight. }={ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}}
{12}{7}
end{array}
ight] }}
ight. }})

法二:(行运算)左侧矩阵(A)的每一行点乘右侧向量(x)

原式({={ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}}
{1 imes 2+2 imes 5}{1 imes 1+2 imes 3}
end{array}
ight] }={ left[ {{left. egin{array}{*{20}{l}}
{12}{7}
end{array}
ight] }}
ight. }}
ight. }})

两种方法看似相同,但思路不同,第一种方法思路简单,对于再大点的矩阵运算时不易出错


推荐阅读
author-avatar
xuncijins
这个家伙很懒,什么也没留下!
PHP1.CN | 中国最专业的PHP中文社区 | DevBox开发工具箱 | json解析格式化 |PHP资讯 | PHP教程 | 数据库技术 | 服务器技术 | 前端开发技术 | PHP框架 | 开发工具 | 在线工具
Copyright © 1998 - 2020 PHP1.CN. All Rights Reserved | 京公网安备 11010802041100号 | 京ICP备19059560号-4 | PHP1.CN 第一PHP社区 版权所有