二维傅里叶旋转定理证明_第十一章无穷级数第五节傅里叶级数

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1、三角级数&＃xff1a;形如

&＃xff08;其实这里为什么要把

拧出来&＃xff0c;是因为n&＃61;0的时候&＃xff0c;sinnx是为0的&＃xff0c;所以为了让Σ里面的两个函数都有意义&＃xff0c;那么就把n&＃61;0特别拧出来&＃xff0c;所以Σ从1开始&＃xff09;

2、预备知识

&＃xff08;1&＃xff09;周期函数&＃xff1a;若存在正数T&＃xff0c;使得对于任意的x∈&＃xff08;-∞&＃xff0c;&＃43;∞&＃xff09;&＃xff0c;恒有

&＃xff0c;则称f(x)是周期函数&＃xff0c;且T为它的一个周期。

&＃xff08;2&＃xff09;周期变换&＃xff08;价值所在&＃xff1a;从一个周期变成另外一个周期&＃xff09;&＃xff1a;若f(x)是以T为周期的函数&＃xff0c;作变换

&＃xff0c;则

&＃xff0c;&＃xff08;此时

中含有自变量t&＃xff09;&＃xff0c;记

&＃xff0c;则F(t)是以2π为周期的函数

&＃xff08;证明过程&＃xff1a;

&＃xff09;

&＃xff08;3&＃xff09;周期延拓&＃xff08;意义&＃xff1a;把其他区间&＃xff0c;都按照题目给定的区间上的函数形状补充&＃xff09;&＃xff1a;如果f(x)是定义在

上的非周期函数&＃xff0c;设

则

是以T为周期的周期函数。

&＃xff08;4&＃xff09;周期函数的积分&＃xff1a;如果f(x)以函数T为周期&＃xff0c;则对任意数a&＃xff0c;有

&＃xff08;5&＃xff09;三角函数系&＃xff1a;最简单的周期函数&＃xff08;以2π为周期&＃xff09;所成的序列&＃xff1a;

称为三角函数系。在三角函数系中&＃xff0c;任意有限项的线性组合仍是以2π为周期的函数。

&＃xff08;6&＃xff09;三角函数系在

的正交性&＃xff1a;三角函数系中任意两个不同的函数的乘积在以2π为长度的区间上的积分等于0&＃xff0c;而两个相同函数的乘积在以2π为长度的区间上的积分等于π。

3、傅里叶级数与傅里叶系数&＃xff1a;设f(x)是以2π为周期的函数&＃xff0c;且在

可积&＃xff0c;则称

&＃xff1b;

为f(x)的傅里叶级数。

由这些系数所确定的三角级数

称为f(x)的

记作&＃xff1a;f(x)~

.

所以&＃xff0c;容易推出两个特殊情况&＃xff01;

&＃xff08;1&＃xff09;如果f(x)是奇函数&＃xff0c;则cos对应部分为0&＃xff0c;sin对应部分一样&＃xff0c;即

&＃xff1b;

此时&＃xff0c;f(x)的傅里叶级数只含正弦函数项&＃xff0c;称为正弦级数&＃xff1a;f(x)~

。

&＃xff08;2&＃xff09;如果f(x)是偶函数&＃xff0c;则sin对应部分为0&＃xff0c;cos对应部分一样&＃xff0c;即

此时&＃xff0c;f(x)的傅里叶级数只含余弦函数项&＃xff0c;称为余弦级数&＃xff1a;f(x)~

。

4、这里要说明一下&＃xff0c;上面计算的&＃xff0c;只是一个f(x)对应的傅里叶级数的形式&＃xff0c;但是我们还没证明到&＃xff0c;需要具备什么条件&＃xff0c;我们才能够展开成这个形式呢&＃xff1f;接着才会有书上的收敛定理&＃xff0c;给我们介绍应该符合什么条件&＃xff0c;才能够展开成傅里叶级数。

5、收敛定理&＃xff0c;狄利克雷充分条件&＃xff1a;设以2π为周期的周期函数f(x)在

上逐段光滑&＃xff0c;且f(x)在

上只有有限个极值点&＃xff0c;则它的傅里叶级数在

上处处收敛。

&＃xff08;讲人话&＃xff1a;就是说&＃xff0c;只要在这个区间上各断都是光滑的&＃xff0c;而且只有有限个极值点&＃xff0c;那么就可以展开傅里叶级数&＃xff0c;且其级数收敛。&＃xff09;

收敛的值&＃xff1a;

这个定理告诉我们&＃xff0c;f(x)的傅里叶级数收敛&＃xff0c;但并不是处处都直接收敛于f(x)&＃xff0c;而是收敛于f(x)在每点处的左、右极限的平均值。

所以设其和函数为S(x)&＃xff0c;即

则

&＃xff08;1&＃xff09;当x∈&＃xff08;-π&＃xff0c;π&＃xff09;&＃xff0c;x为f(x)的连续点时&＃xff0c;S(x)&＃61;f(x)

&＃xff08;2&＃xff09;当x∈&＃xff08;-π&＃xff0c;π&＃xff09;&＃xff0c;x为f(x)的间断点时&＃xff0c;

&＃xff08;3&＃xff09;当x&＃61;±π时&＃xff0c;

6、如果给定的函数f(x)只在&＃xff08;-π&＃xff0c;0]或者[0,π&＃xff09;上有定义&＃xff0c;则可以补充定义&＃xff0c;使其产生的新函数F(x)是[-π&＃xff0c;π]上的奇函数或者偶函数。前者称为奇延拓&＃xff0c;后者称为偶延拓。

7、根据预备知识&＃xff0c;如果对于一般周期的傅里叶级数&＃xff0c;例如周期为2l的周期函数&＃xff0c;在一个周期上

上可积&＃xff0c;则可以作周期变换

&＃xff0c;.则

是以2π为周期的函数&＃xff0c;因此可以利用之前的公式&＃xff0c;得到其对应的傅里叶级数。

F(t)~

&＃xff1b;其中

&＃xff1b;

。

然后再作逆变换

就可以得到最后f(x)对应的傅里叶级数

f(x)~

其对应的系数为

同样的&＃xff0c;对于f(x)是奇函数&＃xff0c;则

&＃xff1b;

对于f(x)是偶函数&＃xff0c;则

&＃xff1b;

8、一般周期函数的收敛定理&＃xff1a;设以2l为周期的周期函数f(x)在

上逐段光滑&＃xff0c;且f(x)在

上只有有限个极值点&＃xff0c;则它的傅里叶级数在

上出出收敛。且

其中系数就是刚刚求的

&＃xff1b;