使用二分迭代法求解低阶线性方程

本文探讨了如何运用二分迭代法来求解形式如f(x)=0的方程，尤其适用于f(x1)<0且f(x2)>0的情况，前提是f(x)在整个区间上是连续的。这意味着，在x1和x2之间必然存在至少一个点x~，满足f(x~)=0。接下来，我们将详细描述这一过程的实施步骤：

1. 首先选取两个点x1和x2，确保f(x1)<0而f(x2)>0。

2. 计算x1与x2中点的值，即mid=(x1+x2)/2。

3. 接下来，评估f(mid)的值：若f(mid)>0，则表明解位于x1至mid之间；此时应将x2更新为mid，并重复执行上述步骤。反之，若f(mid)<0，则解应在mid至x2之间；此时应将x1更新为mid，再次循环上述操作。

4. 当|x1-x2|小于预设的精度阈值时，即可认为mid为所求解，因为此时已达到所需的精度标准。

例如，考虑方程f(x)=x^2-5，我们可以通过上述步骤来寻找其零点。下图展示了该函数的图形，直观地帮助理解迭代过程。

对于f(x)=x^2-5，我们发现f(0)<0而f(4)>0，因此选择0和4作为起始点x1和x2，设定精度为1e-9。下面是实现此算法的Java代码示例：

public static void main(String[] args){
    System.out.println(calculate(0,4,1e-9));
}
public static double calculate(double x1,double x2,double precision){
    double mid=(x1+x2)/2;
    while(Math.abs(x1-x2)>precision){
        if(calculate(x2)*calculate(mid)>0){
            x2=mid;
        }else{
            x1=mid;
        }
        mid=(x1+x2)/2;
    }
    return mid;
}
public static double calculate(double x){
    return Math.pow(x, 2) - 5;
}

运行上述程序后，输出结果为1.58113883016631，这正是方程f(x)=x^2-5的一个根。

总结而言，迭代法是一种强大的工具，用于逼近那些难以通过解析方法直接求解的问题。它通过不断缩小搜索范围，直至达到满意的精度，从而有效地找到方程的解。