电分糊涂日记之《一阶电路的时域分析》

后面的各种响应其实都是由 电容、电感的伏安特性衍生和推论出来的&＃xff1b;

一定要掌握好动态元件的
电容电感的 输入输出电流关系

一、动态元件

1. 电容元件

1.电容概述

• 电路理论中的 电容元件 是实际 电容器 的理想化模型。电容器由介质隔开的两个金属极板组成&＃xff0c;它是一种能存储电荷的器件&＃xff0c;电荷依靠电场力的作用聚集在极板上&＃xff0c;具有储存电场能量的作用&＃xff0c;本身不消耗能量。电容元件常用于收音机接收器的调谐电路、计算机系统的动态存储单元等电路中。

2.电容元件的VCR

• 在电路分析中&＃xff0c;常用电路元件的VCR来描述元件的特性&＃xff0c;并建立电路方程。设电容元件电压与电流为关联参考方向&＃xff0c;可以得到
  【 电路图如下】
  
  第一种关系&＃xff1a;
  
  第二种关系&＃xff1a;
  
  两种关系其实就是一个微积分的关系&＃xff0c;移项一下微积分就能推出来了。

• 当电容电压和电流取关联参考方向时&＃xff0c;电容的功率为
  电路图&＃xff1a;
  
  功率&＃xff1a;
  
  能量计算就是 p&＃xff08;t&＃xff09;的时间积分就行&＃xff1b;在时间 t₀ 到 t 期间&＃xff0c;电容电压由 u_c(t₀) 变为 u_c(t)&＃xff0c;电容元件吸收的能量为
  能量&＃xff1a;
  
  记住 W_C (t₀ , t) &＃61; 1 / 2 * C * [ u²_C(t) - u²_C(t₀) ]

• 经典例题&＃xff1a;
  
  其实就是两个公式使用

2. 电感元件

1.电容概述

• 电感元件是实际电感器的理想化模型&＃xff0c;具有储存磁场能量的作用。电感器常用于供配电系统&＃xff08;如变压器、电动机&＃xff09;和信号处理系统&＃xff08;如收音机、电视、雷达&＃xff09;等实际电路中。

2.电感元件的VCR

设电感元件电压与电流为关联参考方向&＃xff0c;可以得到
第一种关系&＃xff1a;

第二种关系&＃xff1a;

• 在电感电压和电流取关联参考方向时&＃xff0c;电感的功率为
  【题外话&＃xff1a;功率都是 电流 * 电压&＃xff1b;能量是功率的时间积分&＃xff0c;很多都可以自己推的 】
  
  能量计算&＃xff1a;
  
  记住 W_L (t₀ , t) &＃61; 1 / 2 * L * [ i²_L(t) - i²_L(t₀) ]
• 经典例题&＃xff1a;
  
  计算过程&＃xff1a;0.5 * 10 * (2² - 0) &＃61; 20 很简单的
• 经典例题&＃xff1a;
  

3. 电容与电感元件的串并联

1.电容元件串联等效

其等效电容&＃xff1a;

推广结论

• 电容 串联 等效 &＃61; 电阻并联 计算方法

2.电容元件并联等效

其等效电容&＃xff1a;

推广结论

• 电容 并联 等效 &＃61; 电阻串联 计算方法

3.电感元件串并联等效

n个电感L₁、L₂、…串联时&＃xff0c;其等效电感为

• 电感 串联 等效 &＃61; 电阻串联 计算方法

n个电感L₁、L₂、…并联时&＃xff0c;其等效电感为

• 电感 并联 等效 &＃61; 电阻并联 计算方法

经典例题&＃xff1a;

计算过程&＃xff1a;

• 1、 C &＃61; Q / U ; Q &＃61; C * U &＃61; 5 * 120 &＃61; 600

二、一阶电路的零输入响应分析

1. 电路的初始值

1. 独立初始值&＃xff1a;电容电感的初始值

• 初始时刻 t₀ 通常选在电路的换路时刻。换路 是 指电路中出现电路结构或电路元件参数的突然变化&＃xff0c;如电路中出现了开关操作&＃xff0c;使电路结构发生变化。 假设电路在 t₀ 时刻发生换路操作&＃xff0c;换路前一瞬间用 t_0- 表示&＃xff0c;换路后一瞬间用 t_0&＃43; 表示&＃xff0c;初始值则是指在 t_0&＃43; 时刻的值。

因为 电感、 电容是动态元件 &＃xff1b;电容、电感的电压、电流在换路时刻是连续的&＃xff0c;不能跃变。
总会有

• u_0- &＃61; u_0&＃43;
• i_0- &＃61; i_0&＃43;

来道题理解&＃xff1a;

2. 非独立初始值&＃xff1a;电阻的初始值

• 除了电容电压和电感电流这两个独立变量&＃xff0c;可以用换路定理求解初始值&＃xff0c;其他电路变量&＃xff0c;在换路前后都可能发生跃变&＃xff0c;因此换路定理不再适用于该类非独立变量的初始值计算。
• 一般来说&＃xff0c;当独立初始值 u_0&＃43; 和 i_0&＃43; 求得之后&＃xff0c;由于在 t &＃61; 0_&＃43; 时刻&＃xff0c;电容电压和电感电流已知&＃xff0c;根据替代定理 &＃xff1a;
  1&＃xff09;. 电容元件可用电压为 u_C(0_&＃43;) 的电压源替代
  2&＃xff09;. 电感元件可用电流为 i_L(0_&＃43;) 的电流源替代

来道题理解&＃xff1a;&＃xff1a;

2. RC电路零输入响应

若电路在t ≥ t₀ 时&＃xff0c;外施激励为零&＃xff0c;这种只由初始储能引起的响应称为零输入响应

当开关S在 t <0 时连接到开关1,电路处于稳态&＃xff0c;当t&＃61;0时&＃xff0c;开关切换到 2。当 t≥0 时&＃xff0c;电路没有外加激励作用&＃xff0c;依靠电容的初始储能在电路中产生响应&＃xff0c;故电路中的响应为零输入响应。

则零输入响应&＃xff1a;

这个记住结论就行

经典例题&＃xff1a;

3. RL电路零输入响应

开关S在 t<0 时接于1处&＃xff0c;且电路已处于稳态&＃xff0c;当t&＃61;0时&＃xff0c;开关打向2处。当t>0时&＃xff0c;电路没有外加激励作用&＃xff0c;靠电感的初始储能在电路中产生响应&＃xff0c;故电路中的响应称为零输入响应。

则零输入响应&＃xff1a;

通过以上分析可知&＃xff1a;如果用 y_zi(t) 表示零输入响应&＃xff0c;其初始值为 y_zi(0_&＃43;)&＃xff0c;则阶电路的零输入响应可统一表示为&＃xff1a;

经典例题&＃xff1a;

三、一阶电路的零状态响应分析

1. RC电路零状态响应

图&＃xff08;a)所示为t<0时的电路结构&＃xff0c;当电路达到稳态时&＃xff0c;电容中没有储能&＃xff0c;u_c(0_-)&＃61;0&＃xff1b;t&＃61;0时&＃xff0c;开关S由1打到2,t>0时的电路结构如图&＃xff08;b)所示&＃xff0c;电路中的电流源开始给电容充电&＃xff0c;即零状态电路。

零状态响应&＃xff1a;

例题&＃xff1a;

2. RL电路零状态响应

和RC零状态响应类似

结论&＃xff1a;

经典例题&＃xff1a;

四、全响应

• 全响应&＃xff1a;只有动态元件初始储能单独作用产生的响应是零输入响应&＃xff0c;只有独立电源单独作用产生的响应是零状态响应。如果一阶动态电路中既有动态元件的初始储能&＃xff0c;又有独立电源激励&＃xff0c;那么它们共同作用下产生的响应称为全响应。
• 计算方法&＃xff1a;根据叠加定理&＃xff0c;全响应&＃61;零输入响应&＃43;零状态响应

全响应&＃xff1a;

1. 三要素法

• 1.初始值y(0_&＃43;)的求解
  【使用换路定理&＃xff0c;替换定理】
• 2.稳态值y(∞)的求解
  【当电路达到稳态&＃xff0c;这时&＃xff0c;电容相当于开路&＃xff0c;电感相当于短路&＃xff0c;整个电路等效为电阻电路】
• 3.时间常数 τ 的求解
  【求解t>0时刻的电路去掉电容或电感后&＃xff0c;成为一个单口网络&＃xff0c;除去单口网络中的独立电源&＃xff0c;从端口处求得等效电阻R。对于一阶RC电路&＃xff1a; τ &＃61; R*C&＃xff1b;对于一阶RL电路&＃xff1a;τ &＃61; L / R】
• 4.求解全响应

经典例题&＃xff1a;

五、阶跃与冲击响应

1. 阶跃响应

1.阶跃函数

单位阶跃函数 ε(t) 的数学表达式为

2.阶跃响应

• 电路的阶跃响应&＃xff1a;指该电路在单位阶跃函数作用下的零状态响应&＃xff0c;即相当于动态元件初始储能为零&＃xff0c;单位直流电压源或电流源在t&＃61;0时刻作用于电路时的响应
  对于一阶电路&＃xff0c;其阶跃响应可用三要素法求解&＃xff0c;即
  
  例题&＃xff1a;

例题&＃xff1a;

2. 冲激响应

考虑一个宽度为 τ 且面积为1的矩形脉冲&＃xff0c;如图4-7-5所示。保持面积不变&＃xff0c;将 τ 的取值趋于无穷小。则单个矩形脉冲变成在 t&＃61;0 处持续时间无限小、幅度无限大、面积仍为1的特殊信号&＃xff0c;这个广义函数被称为单位冲激函数。

一些变换

单位冲激函数的性质

1.一阶RC电路的冲激响应

计算公式

可以使用

来求解 i_C(t&＃xff09;
【ε(t)的导数是 τ(t) 】

经典例题&＃xff1a;

2.一阶RL电路的冲激响应

计算公式

可以使用

来计算 u_L(t)
【ε(t)的导数是 τ(t) 】

经典例题&＃xff1a;