点到直线的投影公式_关于线面角、二面角、线线角、任意四面体外接球的公式，和一个全新的向量恒等式(不是极化恒等式)...

12/7补充&＃xff1a;①向量恒等式代表了本质&＃xff0c;所谓的极化恒等式也只是其一种特殊情况&＃xff0c;(“极化"&＃xff0c;特殊化的意思)且无论在平面或空间均可任意使用&＃xff0c;无限制条件!详见后文。

②除了我推导的线面角公式&＃xff0c;再额外给出一个三正弦定理(在后面)。然而私以为其实用程度远低于我推导的线面角公式。

第一次写立体几何相关的文章&＃xff0c;写的粗糙但很用心&＃xff0c;希望各位支持!求赞π_π

在处理立体几何小题或大题时我们可以通过一些公式来较快解决问题或者列出题目所需的几个方程进而求解。常见的立体几何小题所问大多都离不开如下几个空间角&＃xff1a;

线面角&＃xff0c;二面角&＃xff0c;线线角&＃xff0c;及外接球问题。。(内切球比较简单&＃xff0c;故不予讨论)立体几何大题更是离不开那三个空间角。

先从较为基本且重要的二面角开始。

一、三射线定理&＃xff1a;

如下图&＃xff0c;α和β是两相交平面&＃xff0c;所交直线L上有一点P。PB&＃xff0c;PA是从P点出发的两条射线&＃xff0c;且两条射线如下图&＃xff0c;分别在两个平面上

在两射线上分别取点A&＃xff0c;B。分别过A&＃xff0c;B两点向两面所交直线L作垂线。这里我们所取的A,B两点满足两垂足相交于同一点H。

记∠APH&＃61;θ1&＃xff0c;∠BPH&＃61;θ2&＃xff0c;∠APB&＃61;θ&＃xff0c;α与β两平面所成夹角为φ。则有&＃xff1a;

下面我们来对该公式进行证明&＃xff1a;

连接AB&＃xff0c;所以二面角即AH与BH的夹角。设PH长度为L&＃xff0c;则可表示几条线段的长度&＃xff1a;

在△APB&＃xff0c;△AHB中我们用余弦定理&＃xff1a;

①②两个式子相等&＃xff0c;我们便可以对其处理了&＃xff1a;

至此命题得证。

三射线定理是计算二面角的利器&＃xff0c;尤其大题我们可以快速把答案计算出来然后快速写写过程最后直接写出答案&＃xff0c;避免了计算的错误。当然最香的还是算压轴小题&＃xff5e;

对三射线定理取特殊情况&＃xff0c;比如我们令二面角为90°&＃xff0c;即互相垂直&＃xff0c;那么我们可得&＃xff1a;

此即三余弦定理&＃xff1a;cosθ1×cosθ2&＃61;cosθ

三余弦定理也比较有用&＃xff0c;但在本文章中最大的功能便是为求线面角公式作铺垫。

二、线面角定理 (名字是我编的&＃xff0c;因为是我自己证的公式)

如下图&＃xff0c;从O点引三条射线OA、OB、OC&＃xff0c;令AO射线与OBC所成平面夹角为φ

则有&＃xff1a;

对该命题进行证明&＃xff1a;

如下图&＃xff0c;过OA射线向OBC平面做投影&＃xff0c;过A向投影所在直线作垂线&＃xff0c;垂足为H&＃xff0c;所以OA与平面OBC所成角φ即∠AOH

显然平面AOH⊥平面OBC&＃xff0c;那么三余弦定理可以用上了。设∠BOH&＃61;α&＃xff0c;所以∠COH&＃61;θ-α

由三余弦定理&＃xff0c;① cosφ×cosα&＃61;cosθ1

② cosφ×cos(θ-α)&＃61;cosθ2

对其进行整理&＃xff1a;

简单化简即可得证。

线线角的公式相信大家早已了解&＃xff0c;那就是空间余弦定理。(但这不是我要强调的重点&＃xff0c;重点是由它引出的一个普遍化的新公式)

三、空间余弦定理

AB&＃xff0c;CD为两异面直线&＃xff0c;分别在其上取A,B&＃xff0c;C,D点。如上图&＃xff0c;将A,B,C,D四点连成一个空间四面体。设AB&＃xff0c;CD两直线所成夹角为θ&＃xff0c;则有&＃xff1a;

加上绝对值符号是因为对于两直线夹角我们通常取(0,π/2)

证明其实也是很简单的&＃xff1a;

移项即得&＃xff1a;

命题得证。

特别地&＃xff0c;假如将这个四面体A-BCD推向极限情况&＃xff0c;即A,B,C,D四点在同一个平面上&＃xff0c;连接的AB&＃xff0c;CD直线则也在这个平面上。

(注意&＃xff1a;这里仅是在平面上特殊的情况&＃xff0c;普遍化的情况见后文)

那么我们也会有同样的结论&＃xff0c;对此我略作变形

证明方式与前面一样&＃xff0c;读者可自行尝试证明。这里我将绝对值符号去掉了&＃xff0c;是因为我们要用到夹角&＃xff0c;如何记忆这个式子呢&＃xff1f;这就仁者见仁了&＃xff0c;对于 A, B , C ,D 四个字母&＃xff0c;第一个括号里是(A,D&＃xff1b;B,C)&＃xff0c;第二个括号里是(A,C&＃xff1b;B,D)。我的记忆方法就是&＃xff1a;两外两内&＃xff0c;一外一内。

这个平面上的向量恒等式比极化恒等式强了很多。从前的许多向量题目无法使用极化恒等式却可以用这个全新的向量恒等式解决。

其实极化恒等式可以看作这个向量恒等式的特殊情况&＃xff0c;即共点的两向量AB,CD。既然提到特殊情况&＃xff0c;那么我们发现了前面我们证明的向量恒等式是两直线相交于一点了&＃xff0c;那我们不妨看看它真正的一般情况。

四、向量恒等式

如图&＃xff0c;对于同一个平面(或空间)上任意两个非零向量&＃xff0c;两个向量的数量积为&＃xff1a;

这就是该结论的真正一般形式&＃xff0c;记忆口诀同上文。

证明方法也是一样的&＃xff0c;这里我再给一遍&＃xff1a;

连接AC,AD,BC,BD.

向量恒等式得证。这个推导过程与是否在平面上无关&＃xff0c;也就是说在任何空间情况下只要满足条件就可使用!

由此我们也能猜到极化恒等式名字的由来&＃xff0c;极化就是特殊化的意思&＃xff0c;也就是这个向量恒等式取特殊情况。然而市面上普遍只给出极化情况却不给出普通情况&＃xff0c;不知是何缘故。。

最后再给出一个任意四面体外接球公式&＃xff0c;像我这种比较笨&＃xff0c;数学辣鸡的人来讲&＃xff0c;外接球公式简直太爽了。

五、任意四面体外接球公式

这个公式是兰琦老师给出的&＃xff0c;可点下方链接

对于任意的一个空间四面体ABCD&＃xff0c;如下图设其外接球半径为R。∠CAB&＃61;α&＃xff0c;∠CDB&＃61;β&＃xff0c;二面角A-CB-D&＃61;θ&＃xff0c;CB长度为m

则其外接球半径R满足&＃xff1a;

这个公式使用时一般唯一需要计算的量为二面角&＃xff0c;通常比较难求&＃xff0c;但我们有三射线定理秒求二面角!!!二者结合&＃xff0c;无敌了。。。

乍看之下公式略长&＃xff0c;但仔细观察就可发现&＃xff0c;根号下的那一坨式子与三射线定理的形式完全一样(仅形式&＃xff0c;非意义)&＃xff0c;根号外的项就很简单了&＃xff0c;只要平常多看看这个式子且多练几道题就能完美的背下来和流畅使用了。

证明过程可以点击上方原文链接&＃xff0c;兰琦老师给出了简洁不失美感的过程&＃xff0c;此处从略。

对于两平面垂直的外接球问题&＃xff0c;我觉得使用那个双半径单交线公式就很好了。下方链接是槿灵兮大佬讲解的文章&＃xff0c;已经很全面了。

随意来几道例题试试吧

由题意易知△ABC为等腰直角三角形。A向底面的投影为M&＃xff0c;BD为折痕&＃xff0c;那么显然有AM⊥BD&＃xff0c;不妨设AD长度为y。

在△CDM中用余弦定理&＃xff1a;

DB⊥AM&＃xff0c;那么我们可对BD,AM两向量用向量恒等式&＃xff0c;即

DM²&＃43;AB²&＃61;AD²&＃43;MB²&＃xff0c;整理即&＃xff1a;

下一步该表示y的范围了&＃xff0c;这很简单&＃xff0c;它的临界情况就是翻折面△ABD完全压在底面才刚好成立&＃xff0c;即△ABD≌△BDM。那么∠ABD&＃61;∠MBD&＃61;π/8&＃xff0c;此时的y值易求&＃xff0c;为2√6-2√3&＃xff0c;y只能比它大&＃xff0c;且小于2√3(不能超过C点)。所以y∈(2√6-2√3&＃xff0c;2√3)

进而可得x∈(√6&＃xff0c;2√3)

下面这个外接球的题就比较讲武德了&＃xff0c;二面角直接给出了。。

解答如下&＃xff1a;

有空我再多给出几道例题吧&＃xff0c;现在我真的是头昏眼花啊&＃xff0c;创作不易&＃xff0c;希望大家多多支持&＃xff0c;轻抬贵手点个赞&＃xff0c;感谢&＃xff01;

12.7补充.三正弦定理

已知两平面M,N交于一条直线L上。如图&＃xff0c;在M上任取一点C&＃xff0c;C在平面N上的投影为H&＃xff0c;在L上任取点A&＃xff0c;设线面角CAH为γ。过C向L作垂线&＃xff0c;垂足为B&＃xff0c;则二面角为∠CBH&＃xff0c;记为α。记∠CAB&＃61;β

则有sinγ&＃61;sinα×sinβ

证明过程如下&＃xff1a;

AC&＃61;CH/sinγ BC&＃61;CH/sinα sinβ&＃61;BC/AC

整理即得&＃xff1a;sinγ&＃61;sinα×sinβ 证毕.

但使用这个公式的前提是要有二面角&＃xff0c;而我证明的线面角公式并不需要&＃xff0c;如何使用自行决断。