Delta对冲：模拟实验

期权Delta对冲&＃xff1a;模拟实验

1. 模拟参数设定

假定买入一个欧式平值认购期权&＃xff0c;一年后到期&＃xff0c;行权价为100&＃xff0c;隐含波动率为20%&＃xff0c;实际波动率为30%&＃xff0c;无风险利率为5%。本文将对冲1000次&＃xff0c;根据不同的价格路径模拟标准delta对冲过程十次。本实验基于BS公式与其假设条件&＃xff08;波动率是固定不变的&＃xff09;。

2. Monte Carlo模拟标的价格路径

假设标的资产价格服从几何布朗运动&＃xff1a;
dS&＃61;μSdt&＃43;σSdz,dz&＃61;ϵdtdS &＃61; \mu S dt &＃43;\sigma S dz, dz &＃61; \epsilon \sqrt{dt}dS&＃61;μSdt&＃43;σSdz,dz&＃61;ϵdt

​
由于风险中性的假设存在&＃xff0c;其中$\mu \&＃61;r$&＃xff0c;$\mu$是标的资产价格收益的均值&＃xff0c;$\sigma$是标的资产价格收益的年化标准差&＃xff0c;$ϵ$服从$N(0,1)$的正态分布。
根据伊藤引理&＃xff1a;
有伊藤过程$dx\&＃61;a(t,x)dt\&＃43;b(t,x)dz$,其中dz服从维纳过程
G(x,t)服从以下过程 :
dG&＃61;(∂G∂xa&＃43;∂G∂t&＃43;12∂2G∂x2b2)dt&＃43;∂G∂zbdzdG &＃61; (\frac{\partial G}{\partial x}a &＃43;\frac{\partial G}{\partial t} &＃43;\frac{1}{2} \frac{\partial^2 G}{\partial x^2}b^2)dt&＃43;\frac{\partial G}{\partial z}bdzdG&＃61;(∂x∂G​a&＃43;∂t∂G​&＃43;21​∂x2∂2G​b2)dt&＃43;∂z∂G​bdz
若$G\&＃61;\ln S$&＃xff0c;则∂G∂x&＃61;1S,∂2G∂x2&＃61;−1S2,∂G∂t&＃61;0\frac{\partial G}{\partial x} &＃61;\frac{1}{S}, \frac{\partial^2 G}{\partial x^2}&＃61;-\frac{1}{S^2}, \frac{\partial G}{\partial t}&＃61;0∂x∂G​&＃61;S1​,∂x2∂2G​&＃61;−S21​,∂t∂G​&＃61;0,可以推出&＃xff1a;
dG&＃61;d(ln⁡S)&＃61;(μ−σ22)dt&＃43;σdzST&＃61;S0exp((μ−σ22)T&＃43;σϵT)dG &＃61;d(\ln S)&＃61;(\mu - \frac{\sigma^2}{2})dt &＃43; \sigma dz \\ S_T &＃61; S_0 exp((\mu - \frac{\sigma^2}{2})T &＃43; \sigma \epsilon \sqrt{T}) dG&＃61;d(lnS)&＃61;(μ−2σ2​)dt&＃43;σdzST​&＃61;S0​exp((μ−2σ2​)T&＃43;σϵT

​)
模拟标的价格的代码如下&＃xff1a;

stock_price_paths &＃61; init_stock_price * np.exp(np.cumsum((risk_free_rate - 0.5 * actual_volatility ** 2) * dt &＃43; actual_volatility * sqrt(dt) * random_seed,axis&＃61;0))


3. 利用BS计算delta和期权理论价值

Black-sholes公式如下所示&＃xff1a;

def get_delta(S, T, K, sigma, rf, option_type):if option_type &＃61;&＃61; "Call":n &＃61; 1else:n &＃61; -1d1 &＃61; (np.log(S / K) &＃43; (rf &＃43; 0.5 * sigma ** 2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))delta &＃61; n * si.norm.cdf(n * d1)return deltadef get_option_price(S, T, K, sigma, rf, option_type):d1 &＃61; (np.log(S / K) &＃43; (rf &＃43; 0.5 * sigma ** 2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))d2 &＃61; d1 - sigma * np.sqrt(T)if option_type &＃61;&＃61; "Call":option_price &＃61; S * norm.cdf(d1) - K * np.exp(-rf * T) * norm.cdf(d2)else:option_price &＃61; K * np.exp(-rf * T) * norm.cdf(-d2) - S * norm.cdf(-d1)return option_price


4. 结果呈现

4.1 使用实际波动率进行对冲

使用实际波动率进行对冲&＃xff0c;最终的收益是确定的&＃xff0c;即V(S,t,σ)−V(S,t,σ~)V(S,t,\sigma) - V(S,t,\tilde{\sigma})V(S,t,σ)−V(S,t,σ~)&＃xff0c;其中S代表标的资产的价格&＃xff0c;t代表剩余到期时间&＃xff0c;$\sigma$代表实际波动率&＃xff0c;σ~\tilde{\sigma}σ~代表隐含波动率。对冲收益取决于隐含波动率和实际波动率的差。

此外&＃xff0c;可以看出每次对冲的收益是不确定的&＃xff0c;具有较大的波动性。

4.2 使用隐含波动率进行对冲

使用隐含波动率进行对冲&＃xff0c;最终的收益是不确定的&＃xff0c;总收益为12(σ2−σ~2)∫t0Te−r(t−t0)S2Γidt\frac{1}{2}(\sigma^2 - \tilde{\sigma}^2) \int_{t_0}^{T} e^{-r(t-t_0)} S^2 \Gamma^i dt21​(σ2−σ~2)∫t0​T​e−r(t−t0​)S2Γidt, 在本次实验中的实际波动率为30%&＃xff0c;高于隐含波动率20%&＃xff0c;且期权的Gamma值一定为正&＃xff0c;对冲的收益一定为正&＃xff0c;但收益的值是不确定的。

但是每次对冲的收益是确定的&＃xff0c;没有较大的波动。每次对冲的收益为12(σ2−σ~2)S2Γidt\frac{1}{2}(\sigma^2 - \tilde{\sigma}^2) S^2 \Gamma^i dt21​(σ2−σ~2)S2Γidt

5. 完整代码

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
&＃64;time:2021/6/24 9:58&＃64;author: Hu Yue
&＃64;email: hhhuyue&＃64;gmail.com
&＃64;file: hedge.py
Note:
"""
from math import sqrt
import scipy.stats as si
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy.stats import norm# 1.对冲场景设定(无分红)
risk_free_rate &＃61; 0.05
implied_volatility &＃61; 0.2
actual_volatility &＃61; 0.3init_stock_price &＃61; 100
strike_price &＃61; 100strike_style &＃61; "European"
option_type &＃61; "Call"T &＃61; 1
simulation_steps &＃61; 1000 # 每次模拟有1000步
simulation_times &＃61; 10 # 模拟10次
dt &＃61; 1 / 1000
random_seed &＃61; np.random.standard_normal((simulation_steps, simulation_times))# 2.Monte Carlo模拟标的价格路径 S_t &＃61; S_0 * exp((u-0.5*sigma**2)dt&＃43;sigma*dz)
stock_price_paths &＃61; init_stock_price * np.exp(np.cumsum((risk_free_rate - 0.5 * actual_volatility ** 2) * dt &＃43; actual_volatility * sqrt(dt) * random_seed,axis&＃61;0))# 制作模拟价格走势图表
# plt.plot(stock_price_paths[:, :], lw&＃61;1.5)
# plt.rcParams[&＃39;font.sans-serif&＃39;] &＃61; [&＃39;SimHei&＃39;]
# plt.xlabel(&＃39;时间&＃39;)
# plt.ylabel(&＃39;价格&＃39;)
# plt.title(&＃39;模拟价格走势&＃39;)
# plt.show()# 3.delta对冲
def get_delta(S, T, K, sigma, rf, option_type):if option_type &＃61;&＃61; "Call":n &＃61; 1else:n &＃61; -1d1 &＃61; (np.log(S / K) &＃43; (rf &＃43; 0.5 * sigma ** 2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))delta &＃61; n * si.norm.cdf(n * d1)return deltadef get_option_price(S, T, K, sigma, rf, option_type):d1 &＃61; (np.log(S / K) &＃43; (rf &＃43; 0.5 * sigma ** 2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))d2 &＃61; d1 - sigma * np.sqrt(T)if option_type &＃61;&＃61; "Call":option_price &＃61; S * norm.cdf(d1) - K * np.exp(-rf * T) * norm.cdf(d2)else:option_price &＃61; K * np.exp(-rf * T) * norm.cdf(-d2) - S * norm.cdf(-d1)return option_price# 计算每次对冲的delta值
expire_time &＃61; (np.ones((simulation_steps, 1)) * dt).cumsum()[::-1] # 倒序
pnl &＃61; np.zeros((simulation_steps - 1, simulation_times))
for simulation in range(simulation_times):# 股票价格stock_price &＃61; stock_price_paths[:, simulation].reshape((simulation_steps, 1))delta &＃61; np.zeros((simulation_steps, 1))option_price &＃61; np.zeros((simulation_steps, 1))for step in range(simulation_steps):# 基于实际波动率计算的delta值delta[step] &＃61; get_delta(stock_price[step], expire_time[step], strike_price, actual_volatility, risk_free_rate,option_type)# 基于隐含波动率计算的delta值# delta[step] &＃61; get_delta(stock_price[step], expire_time[step], strike_price, implied_volatility, risk_free_rate,option_type)# 基于implied volatility计算出的期权理论价值&＃xff0c;也就是市场上期权的价值。option_price[step] &＃61; get_option_price(stock_price[step], expire_time[step], strike_price, implied_volatility,risk_free_rate,option_type)pnl_path &＃61; np.diff(option_price, axis&＃61;0) - delta[:-1] * np.diff(stock_price, axis&＃61;0) - \risk_free_rate * dt * (option_price[:-1] - delta[:-1] * stock_price[:-1])pnl[:, simulation] &＃61; pnl_path.reshape(simulation_steps - 1)
cum_pnl &＃61; pnl.cumsum(axis&＃61;0)# 4.不同价格路径下期权对冲累积收益图plt.plot(cum_pnl[:, :], lw&＃61;1.5)
plt.rcParams[&＃39;font.sans-serif&＃39;] &＃61; [&＃39;KaiTi&＃39;, &＃39;SimHei&＃39;, &＃39;FangSong&＃39;] # 汉字字体,优先使用楷体&＃xff0c;如果找不到楷体&＃xff0c;则使用黑体
plt.rcParams[&＃39;font.size&＃39;] &＃61; 12 # 字体大小
plt.rcParams[&＃39;axes.unicode_minus&＃39;] &＃61; False # 正常显示负号
plt.xlabel(&＃39;时间&＃39;)
plt.ylabel(&＃39;收益&＃39;)
plt.title(&＃39;期权对冲累积收益图&＃39;)
plt.show()