大整数的二进制相乘_谈谈二进制（二）——四则运算

0. 序上一篇【谈谈二进制(一)】中&＃xff0c;我们花了巨量的篇幅&＃xff0c;从最基本的计数开始&＃xff0c;认识了各种进制的原理&＃xff0c;接着通过对我们最熟悉的十进制的分解组合&＃xff0c;推演了其他进制和十进制之间的相互转换过程。本篇将继续深入二进制&＃xff0c;来探究一下二进制的四则运算过程&＃xff0c;也就是加、减、乘、除&＃xff0c;看看二进制和十进制在计算上又有多少差异。1. 加法

1.1 整数

加法一般是四则运算中首先被提及的&＃xff0c;它是计数这一基础行为的延申&＃xff0c;从一个一个地累加&＃xff0c;延申到一堆一堆地相加&＃xff0c;使计数这一行为提升了一个维度。按照上一篇文章的推演逻辑&＃xff0c;我们依然从十进制开始&＃xff0c;首先探究一下十进制的加法。我们取两个十进制数&＃xff1a;62和185&＃xff0c;我们用简单的口算就能算出来他们俩的和是247&＃xff0c;但这个运算过程是怎么样的呢&＃xff1f;我们仔细想一下刚才在计算时大脑的计算过程&＃xff0c;然后来看看小时候初学加法时用到的竖式表达式&＃xff1a;

从上式中我们可以看到&＃xff0c;这个加法的整个过程其实分为了四步&＃xff1a;

1. 个位相加&＃xff0c;得到的结果没有进位&＃xff0c;依然是个位&＃xff1b;

2. 十位相加&＃xff0c;6 &＃43; 8 &＃61; 14&＃xff0c;进位了&＃xff0c;因为是十位的相加结果&＃xff0c;所以进到百位上&＃xff0c;因此十位上结果是4&＃xff0c;百位上是1&＃xff1b;

3. 百位相加&＃xff0c;这里百位只有185的1&＃xff0c;62的百位是0&＃xff0c;所以是0 &＃43; 1 &＃61; 1&＃xff1b;

4. 最后&＃xff0c;把上面三步得到的结果再进行相加&＃xff0c;数字不存在的空白处都看作是0&＃xff0c;最终得到了247这个结果。

总结上面十进制的加法过程&＃xff0c;其实就是两个数字从低位开始相加&＃xff0c;如果有进位&＃xff0c;就将进的位数加到下一位的计算结果上&＃xff0c;然后重复这个过程&＃xff0c;直到两个数字的所有位数遍历完成。在上一篇文章中我们提到过&＃xff0c;不同进制之间的区别几乎仅仅是进位方式的区别&＃xff0c;所以上面这套加法法则在十进制数上成立&＃xff0c;那么在二进制上自然也是成立的。我们取两个二进制数字101和1110&＃xff0c;把它们相加&＃xff1a;

得到了10011这个结果&＃xff0c;我们将三个二进制转化成十进制验证一下&＃xff1a;1110 &＃61; 14&＃xff0c;101 &＃61; 5&＃xff0c;10011 &＃61; 19&＃xff0c;完全正确。当我们熟悉了二进制的计算过程后我们会发现&＃xff0c;其实二进制的加法计算要比十进制更简单&＃xff0c;因为二进制的最低位的计算只有三种&＃xff1a;1 &＃43; 0 &＃61; 1、0 &＃43; 0 &＃61; 0、1 &＃43; 1 &＃61; 10&＃xff0c;比十进制要少得多&＃xff0c;毕竟二进制一共也只由0和1两种数字组成。

1.2 浮点数

上面说的例子是整数的运算&＃xff0c;精通十进制计算的我们知道&＃xff0c;在十进制的计算中&＃xff0c;小数的加法和整数大同小异&＃xff0c;依然是从最右边开始相加&＃xff0c;往左边进位&＃xff0c;直到整个数字的位数遍历相加完毕&＃xff0c;譬如&＃xff1a;5.875 &＃43; 3.75 &＃61; 9.625。十进制是如此&＃xff0c;二进制也不例外&＃xff0c;我们把上式中的前两个数字换成二进制&＃xff1a;5.875 &＃61; 101.111&＃xff0c;3.75 &＃61; 11.11&＃xff0c;然后把这两个二进制浮点数相加&＃xff1a;

注意&＃xff0c;带小数的计算&＃xff0c;我们需要将小数点对齐。经过计算&＃xff0c;101.111 &＃43; 11.11得到的结果1001.101对应的十进制数正是9.625。2 减法讲完了加法&＃xff0c;下面来看减法。众所周知&＃xff0c;减法是加法的逆运算&＃xff0c;并且减法的运算也依然是从最右边开始&＃xff0c;逐渐往左。由于是加法的逆运算&＃xff0c;我们需要注意的是&＃xff0c;在减法中&＃xff0c;没有进位&＃xff0c;取而代之的是退位。我们直接来看上面加法部分的最后一个式子101.111 &＃43; 11.11 &＃61; 1001.101的减法逆运算&＃xff1a;

上面的竖式就是1001.101 - 101.111的过程了&＃xff0c;式中的每一步我都直接计算了退位。这个式子比较特殊&＃xff0c;它除了右边第一位外&＃xff0c;一路往左全部都在做退位计算&＃xff0c;所以整个竖式看起来有点诡异。但总之&＃xff0c;我们得到了11.11这个结果&＃xff0c;和上文中的加法吻合。关于减法还有一点&＃xff0c;就是减数&＃xff1e;被减数的情况&＃xff0c;我们知道&＃xff0c;这种情况的结果为负数&＃xff0c;而我们在计算的时候&＃xff0c;其实只需要把不存在的位数都用0去替换&＃xff0c;该怎么退位怎么退位就行了&＃xff0c;这里就不再展开。3 乘法

3.1 整数

从加减到乘除&＃xff0c;我们的计算又提升了一个维度&＃xff0c;而乘法实际上也是加法的进阶&＃xff0c;所谓乘&＃xff0c;其实就是倍数&＃xff0c;也就是几个几相加&＃xff0c;如4 × 3&＃xff0c;实际上就是4个3或者3个4相加。还是先来看十进制&＃xff0c;取两个数&＃xff1a;84&＃xff0c;57&＃xff0c;我们用竖式来看一下他们的运算过程&＃xff1a;

嗯&＃xff0c;看上去比加减法复杂多了。但仔细观察我们就会发现&＃xff0c;每一行数字其实就是两个因数上各个数字遍历相乘的结果&＃xff0c;唯一要注意的&＃xff0c;就是相乘后所在的位置&＃xff0c;我们逐行来看。首先第一行&＃xff0c;4 × 7 &＃61; 28&＃xff0c;这个没有任何问题&＃xff0c;4和7都是个位数&＃xff0c;也就是  位置上的数&＃xff0c;因此它们之间相乘&＃xff0c;就是两个个位数相乘&＃xff0c;结果的最低位在个位上。然后是第二行&＃xff0c;这里的56是7 × 8的结果&＃xff0c;但实际上&＃xff0c;式中的8并不是8&＃xff0c;而是80&＃xff0c;是十位(  )上的数字&＃xff0c;因此它和个位上的7相乘&＃xff0c;得到的应该是560&＃xff0c;而我们在式中把0给省略了。或者换一种角度&＃xff0c;56这个数字最低位所在的位数&＃xff0c;实际上是8的位数和7的位数相乘的结果&＃xff1a;  &＃xff0c;因此56就被写到了  101" role&＃61;"presentation" style&＃61;"box-sizing: border-box; line-height: 0; overflow-wrap: normal; word-spacing: normal; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border-width: 0px; border-style: initial; border-color: initial; padding-bottom: 1px; clip: rect(1px, 1px, 1px, 1px); user-select: none; padding-top: 1px !important; height: 1px !important; width: 1px !important; overflow: hidden !important; display: block !important;">101的位置上&＃xff0c;如果把个位看作是第0位&＃xff0c;那么56所在的十位就是第1位。下面一行的20和上面56一样。最后一行&＃xff0c;40&＃xff0c;经过前面的分析我们知道&＃xff0c;它其实是50和80相乘的结果&＃xff0c;后面两个0省略了。但为了下面二进制讲解时方便&＃xff0c;我这里更愿意使用所在位数来解释&＃xff0c;也就是  &＃xff0c;也可以直接指数部分相加1 &＃43; 1 &＃61; 2&＃xff0c;所以40就被写在了从0数起的第2位上。最后把上面四行所得的数字按照位置相加&＃xff0c;不存在的地方用0补充&＃xff0c;就得到了最终结果4788。再来看二进制&＃xff0c;实际上二进制的乘法要比十进制省事儿得多&＃xff0c;原因和加法一样&＃xff0c;因为二进制只有0和1两个数&＃xff0c;因此它的基础乘法计算只有三种&＃xff1a;0 × 0 &＃61; 0&＃xff0c;0 × 1 &＃61; 0&＃xff0c;1 × 1 &＃61; 1&＃xff0c;连进位都省了&＃xff0c;全是一位。我们取两个二进制整数110(6)和101(5)&＃xff0c;来看看它们相乘后的结果&＃xff1a;

由于二进制的基础乘法实在太简单&＃xff0c;我这里没有像上面十进制一样&＃xff0c;遍历每个数字相乘&＃xff0c;而是将第一个因数110看作一个整体&＃xff0c;将第二个因数101的三个数拆开&＃xff0c;分别去乘110&＃xff0c;所以我们看第一行结果110&＃xff0c;是1 × 110 &＃61; 110&＃xff0c;由于1在第0位&＃xff0c;所以结果也写在第0位。接着是第二行&＃xff0c;0 × 110 &＃61; 000。这个0在101的  所在的位置上&＃xff0c;也就是第1位&＃xff0c;而看做整体的110的最低位为  &＃xff0c;也就是第0位&＃xff0c;因此他们相乘的积也写在第0 &＃43; 1 &＃61; 0位。第三行&＃xff0c;1 × 110 &＃61; 110。1在第2位&＃xff0c;所以结果写在第0 &＃43; 2 &＃61; 2位。最终把上面三个数相加&＃xff0c;就得到了11110&＃xff0c;也就是30&＃xff0c;正好是5 × 6的结果。

3.2 浮点数

完成了整数的乘法后&＃xff0c;我们来看小数带小数的乘法&＃xff0c;鉴于二进制实在是太好算了&＃xff0c;我们跳过十进制&＃xff0c;直接来到二进制的例子。取两个数&＃xff0c;1.01(1.25)&＃xff0c;11.1(3.5)&＃xff0c;来看他们的竖式计算&＃xff1a;

这里我们同样将第二个因数11.1拆开&＃xff0c;将第一个因数1.01看做一个整体来计算&＃xff0c;得到了最后的结果100.011(4.375)。这个浮点数相乘的式子里&＃xff0c;我们同样要注意&＃xff0c;并且特别注意位数的问题。首先第一行&＃xff0c;我们看到被我们看做整体的第一个因数1.01的最低位为  位置上&＃xff0c;即-2位&＃xff0c;而与之相乘的0.1在-1位上&＃xff0c;因此&＃xff0c;第一行相乘的结果我们要写在第-1 &＃43; -2 &＃61; -3位上&＃xff0c;所以它整个都在小数点后面。以此类推&＃xff0c;第二行和第三行分别把结果最低位写在了-2和-1位上。最后把三个结果相加&＃xff0c;不存在的位置用0补充&＃xff0c;就得到了最终结果。整体而言&＃xff0c;二进制的乘法要比十进制的乘法简单的多得多&＃xff0c;这回我们连九九乘法表都不用背了。4 除法除法是乘法的逆运算&＃xff0c;但相对于加法的逆运算减法来说&＃xff0c;除法就相对要复杂一些了。我们还是先从十进制开始&＃xff0c;但这次就不区分整数和小数了&＃xff0c;直接从浮点数开始。取两个十进制数&＃xff0c;被除数185.65&＃xff0c;除数2.5&＃xff0c;我们来计算  的结果&＃xff1a;

选的数字有点大&＃xff0c;整个计算过程有点长。这里有几个点我们需要注意&＃xff1a;

1. 在计算带小数的除法时&＃xff0c;我们会习惯先将除数(2.5)变成整数&＃xff0c;也就是除数和被除数同时乘   &＃xff0c;这里两个数在除之前都先乘了10&＃xff1a;  &＃xff0c;使2.5变成了25。这样做可以方便计算&＃xff0c;原因就是前文乘法中我们强调过很多次的位数问题&＃xff0c;因为在除法的过程中也涉及乘法&＃xff0c;即被除数&＃61;除数×商&＃xff0c;如果我们把除数的小数点去掉了&＃xff0c;那么除数的最低位变成了第0位&＃xff0c;我们在计算时就会方便很多&＃xff0c;不用担心位数搞错的问题。
2. 除法在计算时&＃xff0c;从最高位开始计算&＃xff0c;以被除数为基准数&＃xff0c;每一位上的数除以整个除数&＃xff0c;若当前的数小于除数&＃xff0c;则结果为0&＃xff0c;并将当前计算的数减去0后与下一位相结合(作为下一位的高一位)成新的数字&＃xff0c;再除以整个除数。如上式中第一步和第二步&＃xff0c;结果都是0&＃xff0c;然后把两步的结果与下一位结合&＃xff0c;变成185&＃xff0c;此时可以除以25&＃xff0c;25 × 7 &＃61; 175&＃xff0c;185 - 175 &＃61; 10&＃xff0c;然后下一步将这个10和被除数的下一位6结合&＃xff0c;得到了106。上式的计算过程部分中&＃xff0c;所有商与除数相乘的结果都是红色字&＃xff0c;新的每一步的被除数都是黑色字。这样一直计算&＃xff0c;直到最后剩下的结果为0&＃xff0c;我们就得到了最终的商&＃xff0c;上式中写在被除数上方的74.26。

上面我文字写的有点绕&＃xff0c;但其实只要我们大概回忆一下十进制的除法&＃xff0c;通过上面这个式子&＃xff0c;就能看明白是怎么回事了。二进制同理&＃xff0c;我们取两个二进制数11.11(3.75)&＃xff0c;10.1(2.5)&＃xff0c;来看一下  的结果&＃xff1a;

过程和上面十进制一样&＃xff0c;最终我们得到了1.1(1.5)这个结果。5 结尾其实在原本的计划中&＃xff0c;这篇(二)里还打算把二进制的位运算给放进来&＃xff0c;这样凑成一个完整的运算篇。但吃了上一篇文章篇幅过长的教训后&＃xff0c;觉得还是先不写位运算了&＃xff0c;在下一篇专门来讲位运算&＃xff0c;以节省篇幅&＃xff0c;提升一点阅读体验。