从正态分布到T检验

1． 说明

 接上次的《几种常见的数学分布》。这次说说T分布和T检验，用词不够严谨，大家就领会精神为主吧~

2． 什么是抽样

 如果整体样本可以一个一个判断叫普查，如果整体样本太多，没法一个一个判断，只能取一部分代表整体，叫抽样。

 比如说，一个班有20个人，我们可以把所有人的身高加一起，除以人数，计算均值，如果有2000000人，就无法把所有人身高都统计一遍再除以总数，一般情况下，就是取其中一部分，计算其均值，认为他们能代表全部。

3． 正态分布

 先复习一下正态分布，比如说女人的身高一般在160左右，150, 170的比较少，140,180的更少，把身高当做横轴，人数作为纵轴画图，就可看到一个中间高两边低的钟形曲线，也就是正态分布。

 那什么不是正态分布呢？比如人的空腹血糖一般在4-6之间，而血糖高的7,8,9的很多，而低到3,2,1的就很少，不样一边多一边少的，就不是正态分布。

4． 正态分布和T分布

 如果只有20个人画一下算一下，就是正态分布；如果有2000000人，从中随机取出20个，画一图也就钟形，就叫T分布。它俩的不同就在于，一个是抽样的，一个是全体的。规律都是中间高两边低对称的样子。当取样趋于无穷大时，T分布就是正态分布，但一般都没法取太多。

5． 假设检验

 如果有2000000个女的，你认为她们的身高是正态分布，均值160（称理论值或标准值μ0），然后从中随机选了20个人，平均身高161（μ），标准差为5（上下浮动），那她们是否适合你所定义的正态分布均值160的规律呢？

 由样本信息对相应总体的特征进行推断称为统计推断。若对所估计的总体首先提出一个假设（平均身高160），然后通过样本数据（20个人）去推断是否拒绝这一假设，称为假设检验，如果符合这个假设就是H0（无效假设null hypothesis），如果不符合就是H1（备择假设alternative hypothesis）。

6． T检验

 以T分布为基础的检验叫T检验。这里主要是判断一组样本是否符合我们设定的“统计推断”。 将上例中的值代入公式，如果这20人的平均身高为161，求t值。

 如果这20人的平均身高为164

 可以看出t值的大小与抽样的均值161，标准差5，样本数20，以及统计推断160相关。

7． 如何查表

 H0成立时t服从自由度v=n-1=19的t分布，查表如下：

 上面的0.05和0.025又是什么呢？是p值（p-value），p=0.05意味着样本统计有95%的信心拒绝原假设，就是说p越小，原假设越可能被拒绝，一般p设成0.05，自由度19时，它对应的t值为2.093。

 当采样的20人平均身高为161时，t=0.894<2.093，即H0成立（抽样符合假设），当平均身高为164时，t=3.578>2.093，则H1成立（即这组抽样不符合假设）。

 就是说t差得越多，t是因为误差造成的可能性p越小，既然不是因为误差，那就是因为本质不同，所以不符合假设。

8． 单侧和双侧检验

 那上边为什么还有0.05和0.1的差别呢？它分别对应单侧和双侧检验。 理论值μ0（160），抽样均值μ（161）。

双测检验值：
μ≠μ0 （μ >μ0或μ<μ0）
单测检验值：
μ>μ0 （根据专业角度，μ不可能小于μ0）
μ<μ0 （根据专业角度，μ不可能大于μ0）

 通常我们用的都是双侧t检验，上例中用的也是双边的p值0.05对应的t值。

9． T检验的应用条件

 要符合t检验的条件，才能计算t检验的统计值

(1) 必须是随机样本且相互独立

 比如抽得出自一个家庭，就只能统计这一家的，不能代表全国的。

(2) 来自正态分布的总体

 正态分布是一种特殊的T分布，判断正态分布的方法有很多，比如Shapiro- Wilk (W检验)用于3-50个的小样本，Kolmogorov-Smirnov检验(D检验)用于小于5000的样本量，大于2000可做直方图，观察是否正态分布。

(3)方差齐性

 均数比较时，要求两总体方差相等