CodingtheMatrix(2)：向量空间

 

1. 线性组合

概念很简单&＃xff1a;

当然&＃xff0c;这里向量前面的系数都是标量。

 

2. Span

向量v1&＃xff0c;v2&＃xff0c;.... &＃xff0c;vn的所有线性组合构成的集合&＃xff0c;称为v1&＃xff0c;v2&＃xff0c;... &＃xff0c;vn的张成&＃xff08;span&＃xff09;。向量v1&＃xff0c;v2&＃xff0c;...vn的张成记为Span{v1&＃xff0c;v2&＃xff0c;... &＃xff0c;vn}。

回顾上一次课里面的电脑登陆认证的过程&＃xff0c;假设黑客知道使用 GF(2) 加密&＃xff0c;截获到一组电脑的问题 alpha 以及用户的回答 beta&＃xff1a;

那么即使黑客不知道密码&＃xff0c; alpha 所组成的 span 里面的所有问题都可以通过线性组合来得到答案了&＃xff0c;证明如下&＃xff1a;

 

3. Generator

实际上就是基的概念&＃xff1a;

 

4. 向量在实数上的 span

span 就是向量的所有线性组合。一个非零向量的 span 通过原点的线&＃xff0c;是一维&＃xff0c;两个向量的 span 可能是一维的&＃xff0c;亦可能是二维。

一个过原点的平面可以表示成&＃xff1a;

{[x, y, z]: [a, b, c] · [x, y, z] &＃61; 0}

在几何上&＃xff0c; (a, b, c) 又叫法向量。两个平面相交&＃xff0c;可以得到一根直线&＃xff1a;

可以看到&＃xff0c;有两种方法表示一个几何物体&＃xff1a;

1. 几个向量的 span
2. 齐次线性方程组&＃xff08;b &＃61; 0&＃xff09;的解集。

 

5. Convex Full

向量线性组合系数之和为 1&＃xff0c;可以得到 Convex Full, 实际上这就是一个仿射组合。两个二维向量的 Convex Full 是一条线段&＃xff0c;三个三维向量的 Convex Full 是一个三角形。

 

6. 仿射空间和仿射组合

过三个点 u1, u2, u3 的平面可以表示成 u1 &＃43; span{u2-u1, u3-u1},进一步可以推导如下&＃xff1a;

同样的仿射组合的定义可以表示成&＃xff1a;

和上面的推导一样&＃xff0c;实际上

 

7. 齐次与非齐次线性方程组

齐次线性方程组的解集表示了一个过原点的几何物体&＃xff0c;如点&＃xff0c;直线&＃xff0c;平面等&＃xff0c;这个结集也可以看做一个 span。假设 U1 和 U2 是非齐次方程组的解&＃xff0c;那么将 U1 和 U2 分别带到方程组&＃xff0c;想减可以得到 U1 - U2 是齐次方程的组。所以有&＃xff1a;

联系第6小节中的推导&＃xff0c;假设 U1&＃xff0c; U1, U3 是非齐次线性方程的三个解&＃xff0c;那么 U3 -U1 和 U2 -U1 必定是齐次线性方程组的两个解&＃xff0c;可以看到&＃xff0c;非齐次方程组的解就在  u1 &＃43; span{u2-u1, u3-u1} 的仿射空间内。