并联谐振与串联谐振公式

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并联谐振与串联谐振公式

一、串联谐振

如图1所示为RLC串联电路，输入阻抗可表示为

，可以看出，电感L和电容C的频率特性不仅相反（感抗与ω成正比，而容抗与ω成反比），而且直接相减（电抗角差180°)。

可以肯定一定存在一个角频率ω0使感抗和容抗相互完全抵消，即X(jω0)=0。因此，阻抗Z(jω)以ω0为中心，在全频域内随频率变动的情况分为3个频区如下：

ω<ω0

X(jω)<0，ψ(jω)<0

容性区R<∣Z(jω)∣

ω=ω0

X(jω)=0，ψ(jω)=0

电阻性∣Z(jω)∣= R

ω>ω0

X(jω)>0，ψ(jω)>0

感性区R>∣Z(jω)∣

阻抗随频率变化的频响曲线如下图所示

当ω=ω0时，X(jω0)=0，电路的工作状况将出现以下重要特征：

1) ψ(jω0)=0，所以I(jω0)

与 U s (j ω 0)

同相，工程上将电路的这一特殊状况定义为谐振，由于是在RLC串联电路中发生的谐振，又称为串联谐振。由以上分析可知，发生谐振的条件为：Im[Z(jω0)]=X(jω0)= ω0L-1/ω0C。这只有在电感、电容同时存在时，上述条件才能满足。由以上各式可知电路发生谐振的角频率ω0和频率f0为 ω 0 = 1LC

， f 0 = 1 2πLC

可以看出，RLC串联电路的谐振频率只有一个，而且仅与电路中L、C有关，与电阻R无关。ω0或(f0)称为电路的固有频率。因此，只有当输入信号us的频率与电路的固有频率f0相同时，才能在电路中激起谐振。如果电路中L、C可调，改变电路的固有频率，则RLC串联电路就具有选择任一频率谐振（调谐），或避开某一频率谐振（失谐）的性能。

2) Zjω0=R

为最小值，谐振时的电流为极大值

3) 电抗电压Ux(jω0)=0,即有

UXjω0=jω0L-1ω0CIjω0=jω0LRUsjω0-j1ω0CRUsjω0=ULjω0+UCjω0=0

因此，L、C串联端口相当于短路，但ULjω0

、 U C j ω0

都不等于零，两者模值相等且反相，相互完全抵消。根据这一特点，串联谐振又称为电压谐振。

此外，工程上将式中的比值ω0LR=1ω0CR

定义为谐振电路的品质因数Q，即

Q=ω0LR=1ω0CR=1RLC

UL(jω0)=UC(jω0)=QUS(jω0)。显然，当Q>1时，电感和电容两端将分别出现比US(jω0)高Q倍的过电压。在高电压的电路系统中（如电力系统），这种过电压非常高，可能会危及系统的安全，必须采取必要的防范措施。但在低电压的电路系统中，如无线电接收系统中，则要利用谐振时出现的过电压来获得较大的输入信号。

4)Q(jω0)=0，即电路吸收的无功功率等于零，有

Qjω0=QLjω0+QCjω0=ω0LI2jω0-1ω0CI2jω0=0

上式表明，电感吸收的无功功率等于电容发出的无功功率，但各自不等于零。电路中储存的电磁能在L和C之间以两倍于谐振频率的频率做周期性的交换，相互完全补偿，自成独立系统，与外源无能量交换。储存的电磁能的总和为一常数，可根据i或us的最大值求得，即

Wjω0=WLjω0+WCjω0=12LI2mjω0=12CU2cmjω0=CQ2U2sjω0

二、并联谐振

并联谐振的定义与串联谐振的定义相同，即端口上的电压与输入电流同相时的工作状况称为谐振。由于发生在并联电路中，所以称为并联谐振。分析方法与RLC串联电路相同，并联谐振的条件为：Im[Y(jω0)]=0

因为Yjω0=G+j(ω0C-1ω0L)

，可得谐振时的角频率和频率为：

ω0=1LC

， f 0 = 1 2πLC

并联谐振时，输入导纳最小，或者说输入阻抗最大，所以谐振时端电压达最大值：Uω0=Z(jω0)IS=RIs

并联谐振时有IL+IC=0

，所以并联谐振又称为电流谐振

ILω0=-j1ω0LU=-j1ω0LGIs=-jQIs

ICω0=jω0CU=jω0CGIsjQIs

并联谐振电路的品质因数Q=IL(ω0)Is=Ic(ω0)Is=1ω0LG=ω0CG=1GCL

并联谐振时电路无功功率为0，电感的磁场能量与电容的电场能量彼此相互交换，完全补偿

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