变限积分性质的总结笔记

文章目录

• • 前言
  • Ⅰ.定积分的存在性
  • • 什么样的函数一定可积，即存在定积分？
    • 什么样的函数一定不可积？
  • Ⅱ.原函数的存在性
  • • 什么样的函数一定存在原函数？
    • 什么样的函数一定不存在原函数？
  • Ⅲ.变限积分性质大总结
  • Ⅳ.真题演练
  • • 第一题：
    • 第二题：
    • 第三题：
    • 第四题：
    • 第五题：

前言

本文主要探讨和总结了变限积分的可积和原函数存在问题的判定，总结了常用的充分条件的推论笔记，供读者阅读参考。
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第一点：变限积分，天生连续。

什么是变限积分？形如：
F ( x ) = ∫ a x f ( t ) d t \mathbf{F}\left( \mathbf{x} \right) =∫_{\mathbf{a}}^{\mathbf{x}}\mathbf{f}\left( \mathbf{t} \right) \mathbf{dt} F(x)=∫ax​f(t)dt
下面，我们来探究一个函数f(x)在[a.b]上可积和在原函数的条件,并总结出变限积分的各种性质!

可积：存在定积分，存在原函数：存在不定积分。

Ⅰ.定积分的存在性

什么样的函数一定可积，即存在定积分？

1.闭区间上的连续函数一定可积。

2.闭区间上的单调函数一定可积。

3.闭区间上有界且只有有限个间断点的函数。

小结：可积是有界的必要条件，但有界不一定可积。

什么样的函数一定不可积？

1.闭区间上的无界函数。

Ⅱ.原函数的存在性

什么样的函数一定存在原函数？

1.闭区间上的连续函数。

什么样的函数一定不存在原函数？

1.在定义域内有第一类间断点的函数。

2.在定义域内有无穷间断点的函数。

Ⅲ.变限积分性质大总结

今晚别睡了！学到两点，搞定它，你还有一整夜的时间宝贝！

Ⅳ.真题演练

第一题：

解析：

①存在第一类间断点，一定没有原函数；在闭区间上有界且有有限个间断点，一定可积。

②在定义域内存在无穷间断点，一定没有原函数；在闭区间上无界，一定不可积。

③在定义域内存在震荡间断点，前面的结论法失效，求原函数得到x² *sin(1/x²)+C；在闭区间上无界，一定不可积。

④闭区间上连续，一定存在原函数；在闭区间上连续，一定可积。

答案：选③④正确。

第二题：

解析：

变限积分天生连续，所以C，D错误；又因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数。（而且这个F(x)可导，因为x=0是第一类间断点。）

答案：选B.

第三题：

解析：

变限积分天生连续，所以B错误；x=0点是第一类间断点（跳跃间断点），但是x=0的左右不连续，所以，所以F(x)在x=0点不可导，所以A错误；同理可得x=2点不可导，以及X∈[-1,0]的积分为正数，所以C错误。

答案：选D。

第四题：

解析：

F(x)天生连续，所以A，B错误；又因为X=pi是跳跃间断点，且左右不连续，所以F(x)=在pi处不可导，D错误。

答案：选C。

第五题：

解析：

由连续定义，f(x)一定连续，F(x)必定可导，反推法排除B、C；F(x)又必定连续，求不定积分，找出C1和C2的关系，选D。

答案：选D·

我知道很多人第一遍看完是肯定看不懂的，反复琢磨，莫哟办法呀，害！ 建议B站链接反复看几遍，将结论熟记于心。