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AndroidMatrix源码详解

作者：丽君朝婷8 | 来源：互联网 | 2022-10-19 11:44

Matrix的数学原理在Android中，如果你用Matrix进行过图像处理，那么一定知道Matrix这个类。Android中的Matr

Matrix的数学原理

在Android中，如果你用Matrix进行过图像处理，那么一定知道Matrix这个类。Android中的Matrix是一个3 x 3的矩阵，其内容如下：

Matrix的对图像的处理可分为四类基本变换：

Translate 平移变换
Rotate 旋转变换
Scale 缩放变换
Skew 错切变换

从字面上理解，矩阵中的MSCALE用于处理缩放变换，MSKEW用于处理错切变换，MTRANS用于处理平移变换，MPERSP用于处理透视变换。实际中当然不能完全按照字面上的说法去理解Matrix。同时，在Android的文档中，未见到用Matrix进行透视变换的相关说明，所以本文也不讨论这方面的问题。

针对每种变换，Android提供了pre、set和post三种操作方式。其中

set用于设置Matrix中的值。

pre是先乘，因为矩阵的乘法不满足交换律，因此先乘、后乘必须要严格区分。先乘相当于矩阵运算中的右乘。

post是后乘，因为矩阵的乘法不满足交换律，因此先乘、后乘必须要严格区分。后乘相当于矩阵运算中的左乘。

除平移变换(Translate)外，旋转变换(Rotate)、缩放变换(Scale)和错切变换(Skew)都可以围绕一个中心点来进行，如果不指定，在默认情况下是围绕(0, 0)来进行相应的变换的。

下面我们来看看四种变换的具体情形。由于所有的图形都是有点组成，因此我们只需要考察一个点相关变换即可。

一、平移变换

假定有一个点的坐标是，将其移动到，再假定在x轴和y轴方向移动的大小分别为：

如下图所示：

不难知道：

如果用矩阵来表示的话，就可以写成：

二、旋转变换

2.1 围绕坐标原点旋转：

假定有一个点，相对坐标原点顺时针旋转后的情形，同时假定P点离坐标原点的距离为r，如下图：

那么，

如果用矩阵，就可以表示为：

2.2 围绕某个点旋转

如果是围绕某个点顺时针旋转，那么可以用矩阵表示为：

可以化为：

很显然，

1. 是将坐标原点移动到点后，的新坐标。

2. 是将上一步变换后的，围绕新的坐标原点顺时针旋转。

经过上一步旋转变换后，再将坐标原点移回到原来的坐标原点。

所以，围绕某一点进行旋转变换，可以分成3个步骤，即首先将坐标原点移至该点，然后围绕新的坐标原点进行旋转变换，再然后将坐标原点移回到原先的坐标原点。

三、缩放变换

理论上而言，一个点是不存在什么缩放变换的，但考虑到所有图像都是由点组成，因此，如果图像在x轴和y轴方向分别放大k1和k2倍的话，那么图像中的所有点的x坐标和y坐标均会分别放大k1和k2倍，即

用矩阵表示就是：

缩放变换比较好理解，就不多说了。

四、错切变换

错切变换(skew)在数学上又称为Shear mapping(可译为“剪切变换”)或者Transvection(缩并)，它是一种比较特殊的线性变换。错切变换的效果就是让所有点的x坐标(或者y坐标)保持不变，而对应的y坐标(或者x坐标)则按比例发生平移，且平移的大小和该点到x轴(或y轴)的垂直距离成正比。错切变换，属于等面积变换，即一个形状在错切变换的前后，其面积是相等的。

比如下图，各点的y坐标保持不变，但其x坐标则按比例发生了平移。这种情况将水平错切。

下图各点的x坐标保持不变，但其y坐标则按比例发生了平移。这种情况叫垂直错切。

假定一个点经过错切变换后得到，对于水平错切而言，应该有如下关系：

用矩阵表示就是：

扩展到3 x 3的矩阵就是下面这样的形式：

同理，对于垂直错切，可以有：

在数学上严格的错切变换就是上面这样的。在Android中除了有上面说到的情况外，还可以同时进行水平、垂直错切，那么形式上就是：

五、对称变换

除了上面讲到的4中基本变换外，事实上，我们还可以利用Matrix，进行对称变换。所谓对称变换，就是经过变化后的图像和原图像是关于某个对称轴是对称的。比如，某点经过对称变换后得到，

如果对称轴是x轴，难么，

用矩阵表示就是：

如果对称轴是y轴，那么，

用矩阵表示就是：

如果对称轴是y = x，如图：

那么，

很容易可以解得：

用矩阵表示就是：

同样的道理，如果对称轴是y = -x，那么用矩阵表示就是：

特殊地，如果对称轴是y = kx，如下图：

那么，

很容易可解得：

用矩阵表示就是：

当k = 0时，即y = 0，也就是对称轴为x轴的情况；当k趋于无穷大时，即x = 0，也就是对称轴为y轴的情况；当k =1时，即y = x，也就是对称轴为y = x的情况；当k = -1时，即y = -x，也就是对称轴为y = -x的情况。不难验证，这和我们前面说到的4中具体情况是相吻合的。

如果对称轴是y = kx + b这样的情况，只需要在上面的基础上增加两次平移变换即可，即先将坐标原点移动到(0, b)，然后做上面的关于y = kx的对称变换，再然后将坐标原点移回到原来的坐标原点即可。用矩阵表示大致是这样的：

需要特别注意：在实际编程中，我们知道屏幕的y坐标的正向和数学中y坐标的正向刚好是相反的，所以在数学上y = x和屏幕上的y = -x才是真正的同一个东西，反之亦然。也就是说，如果要使图片在屏幕上看起来像按照数学意义上y = x对称，那么需使用这种转换：

要使图片在屏幕上看起来像按照数学意义上y = -x对称，那么需使用这种转换：

关于对称轴为y = kx 或y = kx + b的情况，同样需要考虑这方面的问题。

第二部分代码验证

在第一部分中讲到的各种图像变换的验证代码如下，一共列出了10种情况。如果要验证其中的某一种情况，只需将相应的代码反注释即可。试验中用到的图片：

其尺寸为162 x 251。

每种变换的结果，请见代码之后的说明。

package compattesttransformmatrix; 
import androidappActivity; 
import androidcontentContext; 
import androidgraphicsBitmap; 
import androidgraphicsBitmapFactory; 
import androidgraphicsCanvas; 
import androidgraphicsMatrix; 
import androidosBundle; 
import androidutilLog; 
import androidviewMotionEvent; 
import androidviewView; 
import androidviewWindow; 
import androidviewWindowManager; 
import androidviewViewOnTouchListener; 
import androidwidgetImageView; 
 
public class TestTransformMatrixActivity extends Activity 
implements 
OnTouchListener 
{ 
 private TransformMatrixView view; 
 @Override 
 public void onCreate(Bundle savedInstanceState) 
 { 
  superonCreate(savedInstanceState); 
  requestWindowFeature(WindowFEATURE_NO_TITLE); 
  thisgetWindow()setFlags(WindowManagerLayoutParamsFLAG_FULLSCREEN, WindowManagerLayoutParamsFLAG_FULLSCREEN); 
 
  view = new TransformMatrixView(this); 
  viewsetScaleType(ImageViewScaleTypeMATRIX); 
  viewsetOnTouchListener(this); 
   
  setContentView(view); 
 } 
  
 class TransformMatrixView extends ImageView 
 { 
  private Bitmap bitmap; 
  private Matrix matrix; 
  public TransformMatrixView(Context context) 
  { 
   super(context); 
   bitmap = BitmapFactorydecodeResource(getResources(), Rdrawablesophie); 
   matrix = new Matrix(); 
  } 
 
  @Override 
  protected void onDraw(Canvas canvas) 
  { 
   // 画出原图像 
   canvasdrawBitmap(bitmap, 0, 0, null); 
   // 画出变换后的图像 
   canvasdrawBitmap(bitmap, matrix, null); 
   superonDraw(canvas); 
  } 
 
  @Override 
  public void setImageMatrix(Matrix matrix) 
  { 
   thismatrixset(matrix); 
   supersetImageMatrix(matrix); 
  } 
   
  public Bitmap getImageBitmap() 
  { 
   return bitmap; 
  } 
 } 
 
 public boolean onTouch(View v, MotionEvent e) 
 { 
  if(egetAction() == MotionEventACTION_UP) 
  { 
   Matrix matrix = new Matrix(); 
   // 输出图像的宽度和高度(162 x 251) 
   Loge("TestTransformMatrixActivity", "image size: width x height = " + viewgetImageBitmap()getWidth() + " x " + viewgetImageBitmap()getHeight()); 
   // 平移 
   matrixpostTranslate(viewgetImageBitmap()getWidth(), viewgetImageBitmap()getHeight()); 
   // 在x方向平移viewgetImageBitmap()getWidth()，在y轴方向viewgetImageBitmap()getHeight() 
   viewsetImageMatrix(matrix); 
    
   // 下面的代码是为了查看matrix中的元素 
   float[] matrixValues = new float[9]; 
   matrixgetValues(matrixValues); 
   for(int i = 0; i <3; ++i) 
   { 
    String temp = new String(); 
    for(int j = 0; j <3; ++j) 
    { 
     temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t"; 
    } 
    Loge("TestTransformMatrixActivity", temp); 
   } 
    
 
//   // 旋转(围绕图像的中心点) 
//   matrixsetRotate(45f, viewgetImageBitmap()getWidth() / 2f, viewgetImageBitmap()getHeight() / 2f); 
//   
//   // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠 
//   matrixpostTranslate(viewgetImageBitmap()getWidth() * 5f, 0f); 
//   viewsetImageMatrix(matrix); 
// 
//   // 下面的代码是为了查看matrix中的元素 
//   float[] matrixValues = new float[9]; 
//   matrixgetValues(matrixValues); 
//   for(int i = 0; i <3; ++i) 
//   { 
//    String temp = new String(); 
//    for(int j = 0; j <3; ++j) 
//    { 
//     temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t"; 
//    } 
//    Loge("TestTransformMatrixActivity", temp); 
//   } 
    
    
//   // 旋转(围绕坐标原点) + 平移(效果同2) 
//   matrixsetRotate(45f); 
//   matrixpreTranslate(-1f * viewgetImageBitmap()getWidth() / 2f, -1f * viewgetImageBitmap()getHeight() / 2f); 
//   matrixpostTranslate((float)viewgetImageBitmap()getWidth() / 2f, (float)viewgetImageBitmap()getHeight() / 2f); 
//   
//   // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠 
//   matrixpostTranslate((float)viewgetImageBitmap()getWidth() * 5f, 0f); 
//   viewsetImageMatrix(matrix); 
//   
//   // 下面的代码是为了查看matrix中的元素 
//   float[] matrixValues = new float[9]; 
//   matrixgetValues(matrixValues); 
//   for(int i = 0; i <3; ++i) 
//   { 
//    String temp = new String(); 
//    for(int j = 0; j <3; ++j) 
//    { 
//     temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t"; 
//    } 
//    Loge("TestTransformMatrixActivity", temp); 
//   }    
    
//   // 缩放 
//   matrixsetScale(2f, 2f); 
//   // 下面的代码是为了查看matrix中的元素 
//   float[] matrixValues = new float[9]; 
//   matrixgetValues(matrixValues); 
//   for(int i = 0; i <3; ++i) 
//   { 
//    String temp = new String(); 
//    for(int j = 0; j <3; ++j) 
//    { 
//     temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t"; 
//    } 
//    Loge("TestTransformMatrixActivity", temp); 
//   } 
//   
//   // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠 
//   matrixpostTranslate(viewgetImageBitmap()getWidth(), viewgetImageBitmap()getHeight()); 
//   viewsetImageMatrix(matrix); 
//   
//   // 下面的代码是为了查看matrix中的元素 
//   matrixValues = new float[9]; 
//   matrixgetValues(matrixValues); 
//   for(int i = 0; i <3; ++i) 
//   { 
//    String temp = new String(); 
//    for(int j = 0; j <3; ++j) 
//    { 
//     temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t"; 
//    } 
//    Loge("TestTransformMatrixActivity", temp); 
//   } 
 
    
//   // 错切 - 水平 
//   matrixsetSkew(5f, 0f); 
//   // 下面的代码是为了查看matrix中的元素 
//   float[] matrixValues = new float[9]; 
//   matrixgetValues(matrixValues); 
//   for(int i = 0; i <3; ++i) 
//   { 
//    String temp = new String(); 
//    for(int j = 0; j <3; ++j) 
//    { 
//     temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t"; 
//    } 
//    Loge("TestTransformMatrixActivity", temp); 
//   } 
//   
//   // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠   
//   matrixpostTranslate(viewgetImageBitmap()getWidth(), 0f); 
//   viewsetImageMatrix(matrix); 
//   
//   // 下面的代码是为了查看matrix中的元素 
//   matrixValues = new float[9]; 
//   matrixgetValues(matrixValues); 
//   for(int i = 0; i <3; ++i) 
//   { 
//    String temp = new String(); 
//    for(int j = 0; j <3; ++j) 
//    { 
//     temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t"; 
//    } 
//    Loge("TestTransformMatrixActivity", temp); 
//   } 
    
//   // 错切 - 垂直 
//   matrixsetSkew(0f, 5f); 
//   // 下面的代码是为了查看matrix中的元素 
//   float[] matrixValues = new float[9]; 
//   matrixgetValues(matrixValues); 
//   for(int i = 0; i <3; ++i) 
//   { 
//    String temp = new String(); 
//    for(int j = 0; j <3; ++j) 
//    { 
//     temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t"; 
//    } 
//    Loge("TestTransformMatrixActivity", temp); 
//   } 
//   
//   // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠    
//   matrixpostTranslate(0f, viewgetImageBitmap()getHeight()); 
//   viewsetImageMatrix(matrix); 
//   
//   // 下面的代码是为了查看matrix中的元素 
//   matrixValues = new float[9]; 
//   matrixgetValues(matrixValues); 
//   for(int i = 0; i <3; ++i) 
//   { 
//    String temp = new String(); 
//    for(int j = 0; j <3; ++j) 
//    { 
//     temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t"; 
//    } 
//    Loge("TestTransformMatrixActivity", temp); 
//   }    
    
//   错切 - 水平 + 垂直 
//   matrixsetSkew(5f, 5f); 
//   // 下面的代码是为了查看matrix中的元素 
//   float[] matrixValues = new float[9]; 
//   matrixgetValues(matrixValues); 
//   for(int i = 0; i <3; ++i) 
//   { 
//    String temp = new String(); 
//    for(int j = 0; j <3; ++j) 
//    { 
//     temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t"; 
//    } 
//    Loge("TestTransformMatrixActivity", temp); 
//   } 
//   
//   // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠    
//   matrixpostTranslate(0f, viewgetImageBitmap()getHeight()); 
//   viewsetImageMatrix(matrix); 
//   
//   // 下面的代码是为了查看matrix中的元素 
//   matrixValues = new float[9]; 
//   matrixgetValues(matrixValues); 
//   for(int i = 0; i <3; ++i) 
//   { 
//    String temp = new String(); 
//    for(int j = 0; j <3; ++j) 
//    { 
//     temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t"; 
//    } 
//    Loge("TestTransformMatrixActivity", temp); 
//   } 
    
//   // 对称 (水平对称) 
//   float matrix_values[] = {1f, 0f, 0f, 0f, -1f, 0f, 0f, 0f, 1f}; 
//   matrixsetValues(matrix_values); 
//   // 下面的代码是为了查看matrix中的元素 
//   float[] matrixValues = new float[9]; 
//   matrixgetValues(matrixValues); 
//   for(int i = 0; i <3; ++i) 
//   { 
//    String temp = new String(); 
//    for(int j = 0; j <3; ++j) 
//    { 
//     temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t"; 
//    } 
//    Loge("TestTransformMatrixActivity", temp); 
//   } 
//   
//   // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠 
//   matrixpostTranslate(0f, viewgetImageBitmap()getHeight() * 2f); 
//   viewsetImageMatrix(matrix); 
//   
//   // 下面的代码是为了查看matrix中的元素 
//   matrixValues = new float[9]; 
//   matrixgetValues(matrixValues); 
//   for(int i = 0; i <3; ++i) 
//   { 
//    String temp = new String(); 
//    for(int j = 0; j <3; ++j) 
//    { 
//     temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t"; 
//    } 
//    Loge("TestTransformMatrixActivity", temp); 
//   }    
    
//   // 对称 - 垂直 
//   float matrix_values[] = {-1f, 0f, 0f, 0f, 1f, 0f, 0f, 0f, 1f}; 
//   matrixsetValues(matrix_values); 
//   // 下面的代码是为了查看matrix中的元素 
//   float[] matrixValues = new float[9]; 
//   matrixgetValues(matrixValues); 
//   for(int i = 0; i <3; ++i) 
//   { 
//    String temp = new String(); 
//    for(int j = 0; j <3; ++j) 
//    { 
//     temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t"; 
//    } 
//    Loge("TestTransformMatrixActivity", temp); 
//   }  
//   
//   // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠 
//   matrixpostTranslate(viewgetImageBitmap()getWidth() * 2f, 0f); 
//   viewsetImageMatrix(matrix); 
//   
//   // 下面的代码是为了查看matrix中的元素 
//   matrixValues = new float[9]; 
//   matrixgetValues(matrixValues); 
//   for(int i = 0; i <3; ++i) 
//   { 
//    String temp = new String(); 
//    for(int j = 0; j <3; ++j) 
//    { 
//     temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t"; 
//    } 
//    Loge("TestTransformMatrixActivity", temp); 
//   } 
 
    
//   // 对称(对称轴为直线y = x) 
//   float matrix_values[] = {0f, -1f, 0f, -1f, 0f, 0f, 0f, 0f, 1f}; 
//   matrixsetValues(matrix_values); 
//   // 下面的代码是为了查看matrix中的元素 
//   float[] matrixValues = new float[9]; 
//   matrixgetValues(matrixValues); 
//   for(int i = 0; i <3; ++i) 
//   { 
//    String temp = new String(); 
//    for(int j = 0; j <3; ++j) 
//    { 
//     temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t"; 
//    } 
//    Loge("TestTransformMatrixActivity", temp); 
//   } 
//   
//   // 做下面的平移变换，纯粹是为了让变换后的图像和原图像不重叠    
//   matrixpostTranslate(viewgetImageBitmap()getHeight() + viewgetImageBitmap()getWidth(), 
//     viewgetImageBitmap()getHeight() + viewgetImageBitmap()getWidth()); 
//   viewsetImageMatrix(matrix); 
//   
//   // 下面的代码是为了查看matrix中的元素 
//   matrixValues = new float[9]; 
//   matrixgetValues(matrixValues); 
//   for(int i = 0; i <3; ++i) 
//   { 
//    String temp = new String(); 
//    for(int j = 0; j <3; ++j) 
//    { 
//     temp += matrixValues[3 * i + j ] + "\t"; 
//    } 
//    Loge("TestTransformMatrixActivity", temp); 
//   } 
    
   viewinvalidate(); 
  } 
  return true; 
 } 
}

下面给出上述代码中，各种变换的具体结果及其对应的相关变换矩阵

1. 平移

输出的结果：

请对照第一部分中的“一、平移变换”所讲的情形，考察上述矩阵的正确性。

2. 旋转(围绕图像的中心点)

输出的结果：

它实际上是

matrix.setRotate(45f,view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth()* 1.5f, 0f);

这两条语句综合作用的结果。根据第一部分中“二、旋转变换”里面关于围绕某点旋转的公式，

matrix.setRotate(45f,view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

所产生的转换矩阵就是：

而matrix.postTranslate(view.getImageBitmap().getWidth()* 1.5f, 0f);的意思就是在上述矩阵的左边再乘以下面的矩阵：

关于post是左乘这一点，我们在前面的理论部分曾经提及过，后面我们还会专门讨论这个问题。

所以它实际上就是：

出去计算上的精度误差，我们可以看到我们计算出来的结果，和程序直接输出的结果是一致的。

3. 旋转(围绕坐标原点旋转，在加上两次平移，效果同2)

根据第一部分中“二、旋转变换”里面关于围绕某点旋转的解释，不难知道：

matrix.setRotate(45f,view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

等价于

matrix.setRotate(45f);

matrix.preTranslate(-1f* view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f *view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth()/ 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

其中matrix.setRotate(45f)对应的矩阵是：

matrix.preTranslate(-1f* view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f * view.getImageBitmap().getHeight()/ 2f)对应的矩阵是：

由于是preTranslate，是先乘，也就是右乘，即它应该出现在matrix.setRotate(45f)所对应矩阵的右侧。

matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth()/ 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f)对应的矩阵是：

这次由于是postTranslate，是后乘，也就是左乘，即它应该出现在matrix.setRotate(45f)所对应矩阵的左侧。

所以综合起来，

matrix.setRotate(45f);

matrix.preTranslate(-1f* view.getImageBitmap().getWidth() / 2f, -1f *view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

matrix.postTranslate((float)view.getImageBitmap().getWidth()/ 2f, (float)view.getImageBitmap().getHeight() / 2f);

对应的矩阵就是：

这和下面这个矩阵(围绕图像中心顺时针旋转45度)其实是一样的：

因此，此处变换后的图像和2中变换后的图像时一样的。

4. 缩放变换

程序所输出的两个矩阵分别是：

其中第二个矩阵，其实是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“三、缩放变换”和“一、平移变换”说法，自行验证结果。

5. 错切变换(水平错切)

代码所输出的两个矩阵分别是：

其中，第二个矩阵其实是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“四、错切变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

6. 错切变换(垂直错切)

代码所输出的两个矩阵分别是：

其中，第二个矩阵其实是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“四、错切变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

7. 错切变换(水平+垂直错切)

代码所输出的两个矩阵分别是：

其中，后者是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“四、错切变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

8. 对称变换(水平对称)

代码所输出的两个各矩阵分别是：

其中，后者是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“五、对称变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

9. 对称变换(垂直对称)

代码所输出的两个矩阵分别是：

其中，后者是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“五、对称变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

10. 对称变换(对称轴为直线y = x)

代码所输出的两个矩阵分别是：

其中，后者是下面两个矩阵相乘的结果：

大家可以对照第一部分中的“五、对称变换”和“一、平移变换”的相关说法，自行验证结果。

11. 关于先乘和后乘的问题

由于矩阵的乘法运算不满足交换律，我们在前面曾经多次提及先乘、后乘的问题，即先乘就是矩阵运算中右乘，后乘就是矩阵运算中的左乘。其实先乘、后乘的概念是针对变换操作的时间先后而言的，左乘、右乘是针对矩阵运算的左右位置而言的。以第一部分“二、旋转变换”中围绕某点旋转的情况为例：

越靠近原图像中像素的矩阵，越先乘，越远离原图像中像素的矩阵，越后乘。事实上，图像处理时，矩阵的运算是从右边往左边方向进行运算的。这就形成了越在右边的矩阵(右乘)，越先运算(先乘)，反之亦然。

当然，在实际中，如果首先指定了一个matrix，比如我们先setRotate()，即指定了上面变换矩阵中，中间的那个矩阵，那么后续的矩阵到底是pre还是post运算，都是相对这个中间矩阵而言的。

以上就是本文的全部内容，希望对大家的学习有所帮助，也希望大家多多支持。

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深入理解 gRPC：从基础到进阶的全面指南

本文全面解析了 gRPC 的基础知识与高级应用，从 helloworld.proto 文件入手，详细阐述了如何定义服务接口。例如，`Greeter` 服务中的 `SayHello` 方法，该方法在客户端和服务器端的消息交互中起到了关键作用。通过实例代码，读者可以深入了解 gRPC 的工作原理及其在实际项目中的应用。 ... [详细]

蜡笔小新 2024-11-05 01:25:09
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利用 VTK Glyph3D 实现三维数据的符号化可视化

vtkGlyph3D 是一种强大的符号化可视化工具，能够将三维数据集中的每个点用预定义的几何图形（如球体或箭头）进行表示。该工具不仅支持自定义符号的方向和缩放比例，还能够在复杂的数据场中突出显示关键特征，从而提高数据的可解释性和可视化效果。通过这种方式，用户可以更直观地理解和分析三维数据集中的重要信息。 ... [详细]

蜡笔小新 2024-11-04 21:48:22
build
Ant JAR 执行错误：Java I/O 异常 — 无法启动程序 ${aAPT}，错误代码 2，指定文件或目录不存在

在尝试为 Unity 编译一个简单的 Java 库时，运行 `ant jar` 命令后遇到了 Java I/O 异常。具体错误信息为“无法启动程序 ${aAPT}，错误代码 2”，这通常表示指定的文件或目录不存在。此问题可能是由于环境配置不正确或路径设置有误导致的。建议检查相关路径和环境变量，确保所有依赖项都已正确安装和配置。 ... [详细]

蜡笔小新 2024-11-04 16:40:40
android
遍历集合过程中应避免执行修改操作以防止引发ConcurrentModificationException异常

在遍历集合的过程中，若需根据特定条件对集合进行修改操作，如添加或删除元素，应特别注意避免引发 `ConcurrentModificationException` 异常。例如，在当前场景中，当集合中的对象ID与另一个集合中的对象ID不匹配时，需要向集合中添加新元素。为了避免这一异常，建议使用迭代器的 `remove` 方法或采用线程安全的集合类型，如 `CopyOnWriteArrayList`，以确保操作的安全性和一致性。 ... [详细]

蜡笔小新 2024-11-04 16:10:45
android
基址获取与驱动开发：内核中提取ntoskrnl模块的基地址方法解析

基址获取与驱动开发：内核中提取ntoskrnl模块的基地址方法解析 ... [详细]

蜡笔小新 2024-11-04 15:56:02
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如何在Mac上构建高效的本地服务器环境

在Mac上构建高效的本地服务器环境，首先需要了解基本步骤：1. 配置目录基础；2. 启动Apache服务；3. 添加自定义文档至本地服务器；4. 查看自定义效果。此外，还可以通过手机或其他电脑访问本机服务器，以确保跨设备的兼容性和调试效果。Mac系统自带的Apache服务为本地开发提供了便捷的工具，本文将详细介绍每个步骤的具体操作方法。 ... [详细]

蜡笔小新 2024-11-04 15:46:21
android
CAS 机制下的无锁队列设计与实现

CAS 机制下的无锁队列设计与实现 ... [详细]

蜡笔小新 2024-11-04 15:38:05
android
JavaScript 中变量前的加号（+）符号代表什么含义及作用解析

在 JavaScript 中，变量前的加号（+）符号用于将变量转换为数字类型。例如，在 `if (+valueDistance) {}` 语句中，加号的作用类似于 `Number(valueDistance)`，会根据 Number 函数的规则将变量转换为数值或 NaN。这种用法常用于确保变量在进行数值运算时不会出现类型错误。 ... [详细]

蜡笔小新 2024-11-04 15:30:37
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Windows 10系统对Intel服务器的影响：来自微软官网的下载选项分析

Windows 10系统对Intel服务器的影响：来自微软官网的下载选项分析 ... [详细]

蜡笔小新 2024-11-04 15:27:10
android
【Linux进阶指南】第一阶段第三课：体验与部署Ubuntu系统

在正式踏上Linux学习之旅之前，本课程将引导你深入体验和部署Ubuntu系统。通过详细的操作步骤和实践演练，你将掌握Ubuntu的基本安装、配置及常用命令，为后续的进阶学习打下坚实的基础。此外，课程还将介绍如何解决常见问题和优化系统性能，帮助你更加高效地使用Ubuntu。 ... [详细]

蜡笔小新 2024-11-04 14:41:20
apk
掌握Android UI设计：利用ZoomControls实现图片缩放功能

本文介绍了如何在Android应用中通过使用ZoomControls组件来实现图片的缩放功能。ZoomControls提供了一种简单且直观的方式，让用户可以通过点击放大和缩小按钮来调整图片的显示大小。文章详细讲解了ZoomControls的基本用法、布局设置以及与ImageView的结合使用方法，适合初学者快速掌握Android UI设计中的这一重要功能。 ... [详细]

蜡笔小新 2024-11-04 14:29:34
android
通过 NuGet 获取最新版本的 Rafy 框架及其详细文档

为了帮助开发者更便捷地使用Rafy领域实体框架，我们已将最新版的Rafy框架程序集上传至nuget.org，并同步发布了最新版本的Rafy SDK至Visual Studio。此外，我们还提供了详尽的文档和示例，以确保开发者能够快速上手并充分利用该框架的强大功能。 ... [详细]

蜡笔小新 2024-11-04 14:05:16
apk
技术分享：深入解析GestureDetector手势识别机制

技术分享：深入解析GestureDetector手势识别机制 ... [详细]

蜡笔小新 2024-11-04 13:54:00
android
概率与期望动态规划的深入探讨与应用分析

本文深入探讨了概率与期望动态规划的基本原理及其在实际问题中的应用。概率是指某一事件发生的可能性大小，用P(A)表示。若某一事件的所有可能结果共有n种，且每种结果出现的概率相等，而事件A包含其中的m种结果，则该事件的概率P(A)为m/n。例如，在投掷骰子的情况下，如果事件A定义为掷出偶数点，由于共有3种偶数点（2、4、6），而总共有6种可能的结果，因此P(A)为1/2。文章进一步分析了概率与期望动态规划在复杂场景下的建模方法和求解策略，并通过具体实例展示了其在决策优化和风险管理中的应用价值。 ... [详细]

蜡笔小新 2024-11-04 12:57:09
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Bitmap与Byte数组之间的高效转换方法解析

本文深入解析了Bitmap与Byte数组之间高效转换的方法，探讨了不同场景下的最优实现策略，提供了详尽的代码示例和性能对比分析，旨在帮助开发者在图像处理和数据传输中提升效率和减少资源消耗。 ... [详细]

蜡笔小新 2024-11-04 12:41:56

丽君朝婷8

这个家伙很懒，什么也没留下！

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